El viernes pasado, como solución a uno de los problemas de la Tarea 8, obtuvimos que el grupo de Galois del polinomio $latex x^5 -3$ es de orden 20, e isomorfo al subgrupo de $latex S_5$ generado por el 5-ciclo $latex \sigma = (1,2,3,4,5)$ y el 4-ciclo $latex \tau = (2,3,5,4)$.
Si $latex G$ es un grupo que actúa sobre $latex X$, $latex a\in X$ es un punto fijo de $latex g\in G$ si $latex g\cdot a = a.$
Un grupo de Frobenius es un grupo de permutaciones transitivo que actúa sobre un conjunto finito, tal que ninguno de sus elementos tiene más de un punto fijo (excepto la identidad).
Si $latex F$ es el subgrupo de $latex S_5$ generado por $latex \sigma$ y $latex \tau$, entonces $latex F$ es un grupo de Frobenius de orden 20. Sólo es suficiente con verificar que cada uno de los productos $latex \sigma^k\tau^l$ (excepto la identidad) sólo tiene un punto fijo cuando actúa en el conjunto $latex \{1,2,3,4,5\}$.
Por ejemplo, la acción de $latex \sigma^2 \tau$ sobre $latex \{1,2,3,4,5\}$ induce la función
dejando fijo sólo a 4.
Así, la grupo de Galois de $latex x^5-3$ es el grupo de Frobenius $latex F$ de orden 20.
Según el teorema de Frobenius, $latex F$ es isomorfo al producto semidirecto $latex K \rtimes H$, donde $latex H$ es el subgrupo de $latex F$ que fija un elemento seleccionado, y $latex K$ es el subgrupo normal generado por el complemento de todos los conjungados de $latex H$.
Así, si $latex H$ es el subgrupo $latex F$ que fija a 1, entonces es generado por $latex \tau$, y no es muy difícil verificar que $latex K$ es el subgrupo (normal) generado por $latex \sigma$.
$latex K$ es llamado el kernel de Frobenius y $latex H$ el complemento de Frobenius de $latex F$.
El siguiente Mathematica Notebook describe los detalles de los cálculos para verificar la aseveraciones anteriores: Grupos de permutaciones.
Más referencias sobre grupos finitos pueden ser halladas en la página Groups of small order, de John Pedersen.
Si $latex G$ es un grupo que actúa sobre $latex X$, $latex a\in X$ es un punto fijo de $latex g\in G$ si $latex g\cdot a = a.$
Un grupo de Frobenius es un grupo de permutaciones transitivo que actúa sobre un conjunto finito, tal que ninguno de sus elementos tiene más de un punto fijo (excepto la identidad).
Si $latex F$ es el subgrupo de $latex S_5$ generado por $latex \sigma$ y $latex \tau$, entonces $latex F$ es un grupo de Frobenius de orden 20. Sólo es suficiente con verificar que cada uno de los productos $latex \sigma^k\tau^l$ (excepto la identidad) sólo tiene un punto fijo cuando actúa en el conjunto $latex \{1,2,3,4,5\}$.
Por ejemplo, la acción de $latex \sigma^2 \tau$ sobre $latex \{1,2,3,4,5\}$ induce la función
$latex 1\mapsto 3,\qquad 2\mapsto 5, \qquad 3\mapsto 2, \qquad 4\mapsto 4, \qquad 5\mapsto 1,$
dejando fijo sólo a 4.
Así, la grupo de Galois de $latex x^5-3$ es el grupo de Frobenius $latex F$ de orden 20.
Según el teorema de Frobenius, $latex F$ es isomorfo al producto semidirecto $latex K \rtimes H$, donde $latex H$ es el subgrupo de $latex F$ que fija un elemento seleccionado, y $latex K$ es el subgrupo normal generado por el complemento de todos los conjungados de $latex H$.
Así, si $latex H$ es el subgrupo $latex F$ que fija a 1, entonces es generado por $latex \tau$, y no es muy difícil verificar que $latex K$ es el subgrupo (normal) generado por $latex \sigma$.
$latex K$ es llamado el kernel de Frobenius y $latex H$ el complemento de Frobenius de $latex F$.
El siguiente Mathematica Notebook describe los detalles de los cálculos para verificar la aseveraciones anteriores: Grupos de permutaciones.
Más referencias sobre grupos finitos pueden ser halladas en la página Groups of small order, de John Pedersen.
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