$latex y = 2x^2 - 4x + 5.$
Haz un boceto.
Completamos el cuadrado para notar que $latex 2x^2-4x+5 = 2(x-1)^2 + 3$, por lo que entonces la parábola tiene ecuación $latex y - 3 = 2(x-1)^2,$ o equivalentemente
$latex \displaystyle (x-1)^2 = 4 \Big( \frac{1}{8} \Big) (y-3).$
Entonces el vértice se encuentra en el punto $latex (1,3)$ y, como $latex p = \dfrac{1}{8},$ el foco en el punto $latex \Big(1, \dfrac{25}{8} \Big)$ y la directriz es la recta $latex y = \dfrac{23}{8}.$
Problema 2. Identifica la cónica descrita por la ecuación
$latex 52x^2 - 72xy + 73y^2 - 100 = 0,$
y calcula sus vértices, focos y, dado el caso, directriz o asíntotas.
Por medio del cambio de variable
$latex x = u\cos\theta - v\sin\theta, \qquad y = u\sin\theta + v\cos\theta,$
obtenemos que
$latex 52x^2 - 72xy + 73y^2 = P u^2 + Q u v + R v^2,$
donde
$latex P = 52\cos^2\theta - 72\cos\theta\sin\theta+73\sin^2\theta,$
$latex Q = 21\sin2\theta - 72\cos 2\theta,$
$latex R = 52\sin^2\theta + 72\cos\theta\sin\theta+73\cos^2\theta.$
$latex Q = 0$ si $latex \dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \dfrac{72}{21} =\dfrac{24}{7},$ por lo que entonces
$latex \sin2\theta = \dfrac{24}{25}, \qquad \cos2\theta = \dfrac{7}{25},$
y $latex \sin\theta = \sqrt{\dfrac{1-7/25}{2}} =\sqrt{\dfrac{18}{50}} = \dfrac{3}{5}, \quad \cos\theta = \sqrt{\dfrac{1+7/25}{2}} = \sqrt{\dfrac{32}{50}} = \dfrac{4}{5}.$
Así que
$latex P = 52\cdot \dfrac{16}{25} - 72 \cdot \dfrac{12}{25} + 73\cdot\dfrac{9}{25} = 25$
y
$latex R = 52\cdot\dfrac{9}{25} + 72\cdot\dfrac{12}{25}+73\cdot\dfrac{16}{25} = 100,$
y la ecuación en coordenadas $latex (u,v)$ es $latex 25u^2 + 100v^2 - 100 = 0$, ó
$latex \dfrac{u^2}{4} + v^2 = 1.$
Así que la cónica es un elipse, cuyos vértices se encuentran en los puntos (en las coordenadas $latex u$-$latex v$) $latex (\pm 2,0)$ y $latex (0,\pm 1)$, y con focos en los puntos $latex (\pm \sqrt{3},0)$.
Para regresar a las coordenadas $latex x$-$latex y$, rotamos estos puntos en la dirección $latex \theta$, con el cambio de variable anterior. Entonces obtenemos, para los vértices,
$latex \displaystyle \Big(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\Big), \qquad \Big(-\frac{8}{5},-\frac{6}{5}\Big), \qquad \Big(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\Big),\qquad \Big(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\Big),$
y para los focos
$latex \displaystyle\Big(\frac{4}{5}\sqrt{3},\frac{3}{5}\sqrt{3}\Big), \qquad \Big(-\frac{4}{5}\sqrt{3},-\frac{3}{5}\sqrt{3}\Big).$
La elipse se ve como en la siguiente figura.
Problema 3. Haz un boceto de la gráfica de la función
$latex r = \cos\dfrac{\theta}{2},\qquad 0\le\theta\le 4\pi,$
en coordenadas polares.
Problema 4. Calcula el área encerrada por el huevo $latex r = 2+\cos\theta.$
Sólo es suficiente con calcular la integral
$latex \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2 d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\big(4+4\cos\theta+\cos^2\theta\big)d\theta = 4\pi + \frac{1}{2}\int_0^2\pi\Big(\frac{1+\cos2\theta}{2}\Big)d\theta = 4\pi + \frac{\pi}{2}=\frac{9}{2}\pi.$
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