Soluciones al examen4, Cálculo 2

Problema 1. Escribe cada una de las siguientes curvas, descritas en forma paramétrica, como una ecuación en $latex x$ y $latex y$. Haz un boceto de la curva.



1. $latex x(t) = \tan x$, $latex y(t) = \sec x$, $latex 0\le t\le \dfrac{\pi}{4}$.

Por la identidad trigonométrica $latex \tan^2 t + 1 = \sec^2$, tenemos que la curva satisface la ecuación

$latex x^2 + 1 = y^2,$

la cual es la ecuación de la hipérbola vertical con asíntotas $latex y=\pm x$. Como $latex 0 \le t \le \dfrac{\pi}{4},$ entonces $latex x,y\ge 0.$

2. $latex x(t) = 3 + 2t$, $latex y(t) = 5-4t$, $latex 0\le t\le 2$

Como $latex 2t = x-3$, entonces

$latex y = 5 - 2(2t) = 5 - 2(x-3) = -2x + 11,$

por lo que entonces la curva es el segmento de recta entre el punto $latex (x(0),y(0)) = (3,5)$ y el punto $latex (x(2),y(2)) = (7,-3).$

Problema 2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva

$latex x(t) = \dfrac{1}{t}, \qquad y(y) = t^2 + 1,$

en el punto dado por $latex t=1$.

Tenemos que $latex x'(t) = -\dfrac{1}{t^2}$, $latex y'(t) = 2t$. Así que, en el punto dado por $latex t=1$, $latex (x(1),y(1)) = (1,2)$, la pendiente de la tangente es

$latex m= \dfrac{y'(1)}{x'(1)} = \dfrac{2}{-1} = -2,$

así que la recta tangente tiene ecuación

$latex y - 2 = -2(x-1).$

Problema 3. Encuentra los puntos $latex (x,y)$ donde la curva

$latex x(t) = t^2 - 2t, \qquad y(t) = t^3-12t,\qquad -3\le t\le 3,$

tiene tangentes horizontales o verticales. Haz un boceto de la curva.

Calculamos las derivadas de $latex x(t)$ y $latex y(t)$: $latex x'(t) = 2t-2=2(t-1),$ $latex y'(t)=3t^2-12 = 3(t^2-4).$

La curva tiene tangente horizontal en $latex t=1$, porque $latex x'(1)=0$, o sea en el punto $latex (x(1),y(1)) = (-1,-11)$.

Tiene tangentes verticales en $latex t=2$ y $latex t=-2$, porque $latex y'(2)=y(2)=0$, lo que ocurre en los puntos $latex (x(2),y(2))=(0,-16)$ y $latex (x(-2),y(-2))=(8,16)$.

Problema 4. Calcula la longitud de la curva

$latex x(t) = e^t\cos t, \qquad y(t)=e^t\sin t, \qquad 0\le t\le \pi.$

Las derivadas de $latex x(t)$ y $latex y(t)$ son

$latex x'(t)=e^t(\cos t-\sin t), \qquad y('t)=e^t(\sin t + \cos t),$

así que la longitud está dada por

$latex \displaystyle l = \int_0^\pi \sqrt{(e^t(\cos t - \sin t))^2 + (e^t(\sin t + \cos t))^2} dt$

$latex \displaystyle = \int_0^\pi \sqrt{e^{2t}(\cos^2 t - 2\cos t\sin t + \sin^2t + \sin^2t + 2\sin t\cos t+\cos^2 t)}dt$

$latex \displaystyle = \int_0^\pi \sqrt{2} e^t dt = \sqrt{2}(e^\pi -1).$