1. $latex \dfrac{2+3n-2n^2}{1-n^2}$
Por las propiedades del límite de sucesiones, tenemos
$latex \displaystyle \frac{2+3n-2n^2}{1-n^2} = \frac{2/n^2 + 3/n - 2}{1/n^2-1} \to \frac{-2}{-1} = 2.$
2. $latex n\tan\dfrac{\pi}{n}$
Como sabemos que $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, y $latex \dfrac{1}{n} \to 0$, tenemos que
$latex \displaystyle n\tan\frac{\pi}{n} = \pi \frac{\tan\dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{\pi}{n}} \to \pi.$
3. $latex \Big(1 - \dfrac{2}{n}\Big)^n$
Como sabemos que, para cualquier $latex x\in\R$, $latex \Big(1+\dfrac{x}{n}\Big)^n \to e^x$, entonces
$latex \Big(1 - \dfrac{2}{n}\Big)^n \to e^{-2}.$
4.$latex \dfrac{(2+n)^n}{(1+n)^n}$
Al igual que en el ejemplo anterior,
$latex \dfrac{(2+n)^n}{(1+n)^n} = \Big(1+\dfrac{1}{1+n}\Big)^n \to e.$
Problema 2. Calcula el límite de las siguientes integrales impropias.
1. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1}$
Como la derivada de $latex \arctan x$ es $latex \dfrac{1}{x^2+1}$, tenemos
$latex \displaystyle \lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{dx}{x^2+1} = \lim_{b\to\infty} \arctan b - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$
2. $latex \displaystyle \int_0^\infty x e^{-2x} dx$
Integrando por partes, obtenemos
$latex \displaystyle \int_0^b x e^{-2x} dx = \frac{xe^{-2x}}{-2}\Big|_0^b + \frac{1}{2} \int_0^b e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}be^{-2b} + \frac{1}{2}\frac{e^{-2b}-1}{-2}$
$latex \displaystyle = -\frac{1}{2}be^{-2b} - \frac{1}{4} e^{-2b} + \frac{1}{4}.$
Por lo tanto, tomando el límite cuando $b\to\infty$, obtenemos $latex \displaystyle \int_0^\infty xe^{-2x} dx = \frac{1}{4}.$
Problema 3. Calcula el límite de las siguientes series.
1. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2\cdot 3^n + 4^n}{5^n}$
Como $latex \dfrac{3}{5} < 1$ y $latex \dfrac{4}{5} < 1$, utilizando las propiedades de series convergentes y la suma de una serie geométrica obtenemos
$latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2 \cdot 3^n+4^n}{5^n} = 2 \sum_{n=0}^\infty \Big(\frac{3}{5}\Big)^n + \sum_{n=0}^\infty \Big(\frac{4}{5}\Big)^n = \frac{2}{1-3/5} + \frac{1}{1-4/5} = 5 + 5 = 10.$
2. $latex \displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n(n-2)}$
Observamos que $latex \dfrac{1}{n(n-2)} = \dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{n-2} - \dfrac{1}{n}\Big),$ así que las sumas parciales de la serie están dadas por
$latex \displaystyle s_n = \frac{1}{2}\Big(1 - \frac{1}{3}\Big) +\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\Big)+\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\Big) + \ldots+\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Big)$
$latex \displaystyle = \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n+1)}- \frac{1}{2(n+2)}.$
Por lo tanto, $latex s_n \to \dfrac{3}{4}$, y entonces el límite de la serie es $latex \dfrac{3}{4}$.
Problema 4. Indica si las siguientes series convergen.
1. $latex \displaystyle \sum_{n=10}^\infty \frac{n^2+1}{100n^3-2}$
Observamos que podemos comparar con la serie $latex \displaystyle \sum \dfrac{1}{n}$, ya que
$latex \displaystyle \frac{\dfrac{n^2+1}{100n^3-2}}{\dfrac{1}{n}} = \frac{n^3+n}{100n^3 - 2} \to \frac{1}{100} > 0,$
y, como la serie $latex \displaystyle \sum \frac{1}{n}$ diverge, la serie diverge.
2. $latex \displaystyle \sum_{n=10}^\infty \frac{1}{n(\log n)^2}$
Para esta serie podemos utilizar el criterio de la integral. Como
$latex \displaystyle \int_{10}^\infty \frac{dx}{x(\log x)^2} = \frac{1}{\log 10} < \infty,$
tenemos que la serie converge.
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