Tangentes a hipérbolas

La demostración al siguiente teorema estaba asignada en la Tarea 8.

Teorema. La tangente a una hipérbola en un punto $latex P$ biseca al ángulo $latex F_1PF_2,$ donde $latex F_1$ y $latex F_2$ son los focos de la hipérbola.

A continuación presento la demostración.

Demostración. Sea $latex P(x_0,y_0)$ un punto en la hipérbola $latex \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Entonces la tangente en $latex P$ tiene pendiente $latex \dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ (si $latex y_0 \not= 0$), por lo que su ecuación es entonces

$latex a^2 y_0 (y - y_0) = b^2 x_0 (x - x_0).$

Esta recta cruza el eje $latex x$ en el punto $latex Q$ con abscisa $latex \dfrac{a^2}{x_0}$, donde ya hemos utilizado el hecho que $latex \dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1.$ Es suficiente con demostrar entonces que la distancia de $latex Q$ a la recta $latex F_1P$ es igual a la distancia de $latex Q$ a la recta $latex F_2P$.

La recta $latex F_1P$ , que pasa por los puntos $latex F_1(-p,0)$ y $latex P(x_0,y_0)$, tiene ecuación

$latex y_0 x - (x_0+p) y + p y_0 = 0,$

mientras que la recta $latex F_2P$, que une $latex F_2(p,0)$ y $latex P(x_0,y_0)$, tiene ecuación

$latex y_0 x - (x_0 - p) y - p y_0 = 0.$

La distancia de $latex Q\Big(\dfrac{a^2}{x_0},0\Big)$ a $latex F_1P$ es entonces

$latex \displaystyle \frac{\dfrac{a^2y_0}{x_0} + py_0}{\sqrt{y_0^2 + (x_0+p)^2}} = \frac{a^2y_0 + px_0y_0}{x_0\sqrt{y_0^2 + (x_0+p)^2}},$

mientras que la distancia de $latex Q$ a $latex F_2P$ es

$latex \displaystyle \frac{\dfrac{a^2y_0}{x_0} - py_0}{\sqrt{y_0^2 + (x_0-p)^2}} = \frac{a^2y_0 - px_0y_0}{x_0\sqrt{y_0^2 + (x_0-p)^2}}.$

El que estas distancias sean iguales es equivalente a la ecuación

$latex (a^2y_0 + px_0y_0)^2(y_0^2 + (x_0-p)^2) - (a^2y_0 - px_0y_0)^2(y_0^2 + (x_0+p)^2) = 0.$

Para mostrar esto simplificamos

$latex (a^2y_0 + px_0y_0)^2(y_0^2 + (x_0-p)^2) - (a^2y_0 - px_0y_0)^2(y_0^2 + (x_0+p)^2)$

$latex = (a^4 y_0^2 + p^2x_0^2y_0^2)((x_0-p)^2 - (x_0+p)^2) + 2a^2px_0y_0^2(2y_0^2 + (x_0-p)^2 + (x_0+p)^2)$

$latex = (a^4 y_0^2 + p^2x_0^2y_0^2) (-4px_0) + 2a^2px_0y_0^2(2y_0^2 +2x_0^2 + 2p^2)$

$latex = -4px_0y_0^2(a^4 + p^2 x_0^2 - a^2y_0^2 - a^2x_0^2- a^2p^2)$

$latex = -4px_0y_0^2\big((p^2-a^2)x_0^2 - a^2y_0^2 - a^2(p^2-a^2)\big) = 0,$

donde hemos usado el hecho que, en la hipérbola $latex \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, $latex b^2 = p^2 - a^2.$

$latex \Box$