En la tarea 11 de álgebra 3, se propusieron las siguientes preguntas: (1) ¿Es $latex \sqrt[3]{28} - 3$ un cuadrado en $latex \Q(\sqrt[3]{28})$? (2) ¿Es $latex \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}$ un cuadrado en $latex \Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2})$?
Estas preguntas son equivalentes a preguntar, por ejemplo, si $latex \alpha\in\R$ es tal que $latex \alpha^2 = \sqrt[3]{28}-3$, entonces, ¿los campos $latex \Q(\alpha)$ y $latex \Q(\sqrt[3]{28})$ son iguales?
Es fácil ver que $latex \Q(\sqrt[3]{28})\subset\Q(\alpha)$, por lo que la pregunta también es equivalente a preguntar si $latex \alpha\in\Q(\sqrt[3]{28})$; es decir, si existen racionales $latex a,b,c$ tales que
Sin embargo, el problema computacional originado por la ecuación anterior es muy difícil de resolver. No toma mucho tiempo ver que involucra ecuaciones cúbicas y cuárticas cuyas soluciones, aún expresables en radicales, son suficientemente complicadas como para verificar si son racionales o no.
Si consideramos las extensiones $latex \Q(\sqrt[3]{28}):\Q$ y $latex \Q(\alpha):\Q$, entonces es suficiente con averiguar si estas extensiones tienen el mismo grado (3). Entonces, sólo es suficiente con verificar si el polinomio mínimo de $latex \alpha$ es de grado 3.
Ahora bien, el polinomio mínimo de $latex \sqrt[3]{28}-3$ está dado por $latex m(x) = x^3 + 9x^2 - 27 x - 1$, por lo que entonces $latex \alpha$ es un cero de
Entonces, el polinomio mínimo de $latex \alpha$ debe dividir a este polinomio. Sin embargo, podemos verificar que
por lo que entonces deducimos $latex [\Q(\alpha):\Q] = 3$. Por lo tanto, $latex \alpha\in\Q(\sqrt[3]{28}),$ que era lo que queríamos averiguar.
Más aún, como podemos resolver ecuaciones cúbicas en radicales, podemos calcular $latex \alpha$ explícitamente. De hecho,
Procedemos de la misma forma con $latex \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}$. Su polinomio mínimo está dado por $latex m(x) = x^9-3x^6+543x^3-1,$ consistente con el hecho que $latex \Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2}):\Q$ es de grado $latex 9$. Ahora bien, si $latex \beta^2 = \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}$, entonces $latex \beta$ es un cero de $latex m(x^2)$, y su polinomio mínimo debe ser factor de este polinomio. Podemos verificar que
por lo que concluímos que $latex [\Q(\beta):\Q]=9$, así que $latex \beta\in\Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2}).$
Sin embargo, esta vez no podemos calcular $latex \beta$ explícitamente. Sólo podemos observar que $latex \beta$ es la raíz cúbica de los ceros de reales de los polinomios $latex x^3 \mp 7x^2+23x\pm 1$. Sí podemos obtener los ceros de estos polinomios explícitamente, por lo que obtenemos
Estas preguntas son equivalentes a preguntar, por ejemplo, si $latex \alpha\in\R$ es tal que $latex \alpha^2 = \sqrt[3]{28}-3$, entonces, ¿los campos $latex \Q(\alpha)$ y $latex \Q(\sqrt[3]{28})$ son iguales?
Es fácil ver que $latex \Q(\sqrt[3]{28})\subset\Q(\alpha)$, por lo que la pregunta también es equivalente a preguntar si $latex \alpha\in\Q(\sqrt[3]{28})$; es decir, si existen racionales $latex a,b,c$ tales que
$latex (a + b\sqrt[3]{28} + c\sqrt[3]{28^2})^2 = -3 + \sqrt[3]{28}.$
Sin embargo, el problema computacional originado por la ecuación anterior es muy difícil de resolver. No toma mucho tiempo ver que involucra ecuaciones cúbicas y cuárticas cuyas soluciones, aún expresables en radicales, son suficientemente complicadas como para verificar si son racionales o no.
Si consideramos las extensiones $latex \Q(\sqrt[3]{28}):\Q$ y $latex \Q(\alpha):\Q$, entonces es suficiente con averiguar si estas extensiones tienen el mismo grado (3). Entonces, sólo es suficiente con verificar si el polinomio mínimo de $latex \alpha$ es de grado 3.
Ahora bien, el polinomio mínimo de $latex \sqrt[3]{28}-3$ está dado por $latex m(x) = x^3 + 9x^2 - 27 x - 1$, por lo que entonces $latex \alpha$ es un cero de
$latex m(x^2) = x^6 + 9x^4 - 27x^2 - 1.$
Entonces, el polinomio mínimo de $latex \alpha$ debe dividir a este polinomio. Sin embargo, podemos verificar que
$latex x^6 + 9x^4-27x^2 - 1 = (x^3-x^2+5x+1)(x^3+x^2+5x-1),$
por lo que entonces deducimos $latex [\Q(\alpha):\Q] = 3$. Por lo tanto, $latex \alpha\in\Q(\sqrt[3]{28}),$ que era lo que queríamos averiguar.
Más aún, como podemos resolver ecuaciones cúbicas en radicales, podemos calcular $latex \alpha$ explícitamente. De hecho,
$latex \alpha = \pm \Big( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{28} - \dfrac{1}{6}\sqrt[3]{28^2} \Big).$
Procedemos de la misma forma con $latex \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}$. Su polinomio mínimo está dado por $latex m(x) = x^9-3x^6+543x^3-1,$ consistente con el hecho que $latex \Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2}):\Q$ es de grado $latex 9$. Ahora bien, si $latex \beta^2 = \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}$, entonces $latex \beta$ es un cero de $latex m(x^2)$, y su polinomio mínimo debe ser factor de este polinomio. Podemos verificar que
$latex m(x^2) = x^{18}-3x^{12}+543x^6-1= (x^9-7x^6+23x^3+1)(x^9+7x^6+23x^3-1),$
por lo que concluímos que $latex [\Q(\beta):\Q]=9$, así que $latex \beta\in\Q(\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{2}).$
Sin embargo, esta vez no podemos calcular $latex \beta$ explícitamente. Sólo podemos observar que $latex \beta$ es la raíz cúbica de los ceros de reales de los polinomios $latex x^3 \mp 7x^2+23x\pm 1$. Sí podemos obtener los ceros de estos polinomios explícitamente, por lo que obtenemos
$latex \beta = \pm \sqrt[3]{\dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{2\cdot 5} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{2^2\cdot 5^2}}.$
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