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Soluciones al examen 6, Cálculo 2

Problema 1. Indica si cada una de las siguientes series converge o diverge.

1. $latex \displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{\log\log n}$

Converge porque es alternante.

2. $latex \displaystyle\sum\frac{n!}{n^n+1}$

Converge por el criterio del cociente:

$latex \displaystyle \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^n = \Big(1 - \frac{1}{n+1}\Big)^n \to e^{-1} < 1.$



También hemos usado el hecho que

$latex \displaystyle \frac{n!}{n^n+1} < \frac{n!}{n^n}.$



3. $latex \displaystyle \sum \frac{\sin n^2}{n^2}$

Converge por comparación, ya que $latex \Big|\dfrac{\sin n^2}{n^2}\Big| \le \dfrac{1}{n^2}.$

4. $latex \displaystyle \sum \frac{n^2}{\cosh n}$

Converge. Notamos que $latex \cosh n = \dfrac{e^n+e^{-n}}{2}$, por lo que entonces

$latex \dfrac{\cosh n}{e^n} \to 1.$



Por el criterio del límite, la convergencia de la serie es la misma que la de la serie $latex \displaystyle \sum \frac{n^2}{e^n}$, la cual converge por el criterio de la raíz.

Problema 2. Calcula los primeros t\'erminos (hasta $latex P_4(x)$) de la serie de Taylor de la función

$latex f(x) = \tanh x$



alrededor de 0.

Como $latex \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$, realizamos la división de las series. Tenemos

$latex \sinh x = x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \ldots$

$latex \cosh x = 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots$

Entonces, dividimos para obtener la serie

$latex x - \dfrac{x^3}{3} + \ldots.$



Notamos que $latex P_4(x) = x - \dfrac{x^3}{3},$ ya que el siguiente término de la serie

es al menos de grado $latex 5$.

Problema 3. Encuentra el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

1. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2 (x-1)^n$

Notamos que $latex \sqrt[n]{n^2} \to 1$, por lo que el criterio de la raíz implica que el radio de convergencia es $latex R = 1$. Ahora bien, ni $latex \sum n^2$ ni $latex \sum (-1)^n n^2$ convergen (sus sumandos no son acotados), así que el intervalo de convegencia es

$latex (0,2).$



2. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n^2}2^n}{n+1}(x-2)^n$

Observamos que $latex \displaystyle \sqrt[n]{\Big|\frac{(-1)^{n^2}2^n}{n+1}\Big|} \to 2$, por lo que el criterio de la raíz implica que el radio de convergencia es $latex R=1/2$. Ahora bien, en $latex x = 2 + 1/2$, la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n^2}}{n+1}$ es alternante, porque $latex (-1)^{n^2} = (-1)^n$, así que converge. Sin embargo, en $latex x=2-1/2$, la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}$ diverge.

Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $latex \Big(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\Big].$

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