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La métrica de Hausdorff en espacios discretos

El Problema 1 de la tarea 13 de análisis real, pedía mostrar el siguiente enunciado: Sea $latex A$ un conjunto finito de puntos aislados de $latex X$, es decir, cada es $latex x\in A$ es un conjunto abierto en $latex X$ de un solo punto. Entonces $latex A$ es aislado en $latex C_X$.

La demostración de este enunciado es la siguiente.



Debemos mostrar que $latex \{ A\}$ es un conjunto abierto en $latex C_X$; es decir, que existe $latex \e>0$ tal que la bola de radio $latex \e$ alrededor de $latex A$, en $latex C_X$, contiene solo a $latex A$: $latex B_\e(A) = \{ A\}$.

Como $latex A$ es finito, $latex A=\{x_1,\ldots,x_k\}$. Como cada $latex x_i$ es aislado, existe $latex \e_i>0$ tal que $latex B_{\e_i}(x_i) = \{x_i\}$ en $latex X$; es decir, para $latex x\in X$, si $latex x\not= x_i$, $latex d(x,x_i)\ge \e_i$.

Ahora bien, sea $latex \e = \min\{\e_1,\ldots,\e_k\}$, y sea $latex B\in C_X$ con $latex B\not= A$. Entonces, existe $latex x\in B$ tal que $latex x\not= A$, y entonces $latex d(x,x_i) \ge \e_i \ge \e$ para todo $latex x_i\in A$. Por lo tanto, si $latex B \subset U_r(A)$, entonces $latex r\ge \e$. Concluimos entonces que $latex d_H(B,A) \ge \e$, y por lo tanto $latex B_\e(A) = \{A\}$. $latex \Box$

Como corolario, uno puede concluir que, si $latex X$ tiene la métrica discreta ($latex d(x,y)=1$ si $latex x\not=y$), entonces la métrica de Hausdorff $latex d_H$ es la métrica discreta en $latex C_X$ (ejercicio 16 de las notas).

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