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El teorema de Weierstrass

El Problema 3 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en demostrar el siguiente teorema de Weierstrass, sobre la aproximación de funciones continuas en un intervalo con polinomios.

Teorema. Si $latex f$ es continua en el intervalo $latex [a,b]\subset\R$, entonces, para cada $latex \e>0$, existe un polinomio $latex p(x)$ tal que $latex |f(x)-p(x)|<\e$ para todo $latex x\in[a,b]$.

Mostraremos que este teorema es consecuencia del teorema de Fejér sobre aproximaciones de funciones continuas sobre el círculo por polinomios.

Sea $latex f$ continua en el intervalo $latex [a,b]$, y sea $latex \e>0$ dado. Podemos generar, a partir de $latex f$, una función continua periódica definiendo, en $latex [2a-b,a]$ (la reflexión del intervalo $latex [a,b]$ a la izquierda) la función $latex f(x) = f(2a-x)$. De esta forma extendemos $latex f$ a una función continua periódica en $latex \R$, con período $latex 2(b-a)$.

Si definimos $latex \displaystyle g(x) = f\Big(\frac{b-a}{\pi} x + a\Big)$, entonces $latex g$ es una función periódica continua en $latex \R$, con período $latex 2\pi$ (notamos que $latex g(0) = f(a)$ y $latex g(-\pi) = g(\pi) = f(b)$). Como consecuencia del teorema de Fejér, existe un polinomio trigonométrico $latex T(x)$ tal que

$latex |g(x) - T(x)| < \e$



para todo $latex x\in\R$. Este polinomio trigonométrico debe ser de la forma

$latex \displaystyle T(x) = \sum_{|n|\le N} a_n e^{inx}.$



Como los polinomios de Taylor de la función exponencial $latex e^{ix}$ convergen uniformemente a la función en cada intervalo, entonces existe un polinomio $latex P(x)$ tal que

$latex |e^{ix} - P(x)| < \dfrac{\e}{2A(2N+1)},$



para todo $latex x\in[-\pi N,\pi N]$, donde $latex A$ es el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de $latex T(x),$

$latex A = \max\{ |a_n|: n=-N,\ldots,N\}.$



Entonces, para cada $latex x\in[-\pi,\pi]$ y $latex |n|\le N$,

$latex |e^{inx} - P(nx)| < \dfrac{\e}{2A(2N+1)},$



y, si definimos

$latex \displaystyle Q(x) = \sum_{|n|\le N} a_n P(nx),$



entonces, para todo $latex x\in[-\pi,\pi]$,

$latex \displaystyle |T(x) - Q(x)| \le \sum_{|n|\le N} |a_n| |e^{inx} - P(nx)| < \frac{\e}{2},$



y por lo tanto, para $latex x\in[-\pi,\pi]$,

$latex |g(x) - Q(x)| \le |g(x) - T(x)| + |T(x) - Q(x)| < \e.$



Para finalizar, es suficiente con tomar el polinomio

$latex p(x) = Q\Big( \dfrac{\pi}{b-a} (x-a)\Big),$



porque $latex f(x) = g\Big(\dfrac{\pi}{b-a}(x-a)\Big).$

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