Soluciones al examen 2, Cálculo

Problema 1. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle\int x^5\sqrt{x^4-1} dx.$

Realizamos el cambio de variable $latex y = x^2$. Entonces la integral es igual a

$latex \displaystyle\int x^5\sqrt{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int y^2 \sqrt{y^2-1} dy.$

Para la última, es necesario utilizar el cambio de variable trigonométrico $latex y = \sec z$ y obtenemos

$latex \displaystyle \int y^2 \sqrt{y^2-1} dy = \int \sec^3 z \tan^2 z\ dz = \int \sec^5 z\ dz - \int \sec^3 z\ dz.$

Estas dos integrales fueron calculadas en clase por partes. Para la de $latex \sec^3 z$,

$latex \displaystyle \int \sec^3 z\ dz = \int \sec z \cdot \sec z \tan z\ dz = \sec z \tan z - \int \sec z \tan z \cdot \tan z \ dz,$

y entonces

$latex \displaystyle \int \sec^3 z\ dz = \sec z\tan z - \int (\sec^3 z - \sec z) dz$

y

$latex \displaystyle \int \sec^3 z\ dz = \frac{1}{2}\sec z \tan z +\frac{1}{2}\log|\sec z + \tan z| + C.$

Similarmente. escribimos $latex \sec^5 z = \sec^3 z \cdot \sec z\tan z$ e integramos por partes, para obtener

$latex \displaystyle \int \sec^5 z\ dz = \sec^3 z \tan z - 3 \int \sec^5 z\ dz + 3 \int \sec^3 z\ dz,$

y entonces

$latex \displaystyle \int \sec^5 z\ dz = \frac{1}{4}\sec^3 z \tan z + \frac{3}{8} \sec z \tan z + \frac{3}{8} \log|\sec z + \tan z| + C,$

donde ya hemos usado la previa integral. Así que entonces

$latex \displaystyle \int x^5\sqrt{x^4-1} dx = \frac{1}{8}\sec^3 z\tan z - \frac{1}{16}\sec z \tan z - \frac{1}{16} \log|\sec z + \tan z| + C.$

Para deshacer el cambio de variable, recordemos que $latex y = \sec z$, y por la tanto $latex \tan z = \sqrt{y^2-1}$, y además $latex y = x^2$, así que

$latex \displaystyle \int x^5\sqrt{x^4-1} dx = \frac{1}{8}x^6\sqrt{x^4-1} - \frac{1}{16}x^2\sqrt{x^4-1} - \frac{1}{16}\log(x^2+\sqrt{x^4-1}) + C.$

Problema 2. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-2x}} dx.$

Para esta realizamos el cambio de variable $latex y = \sqrt{1-2x}$, y obtenemos

$latex \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-2x}} dx = \int \frac{\dfrac{1-y^2}{2}}{y}(-y) dy = \frac{1}{2} \int (y^2-1) dy = \frac{1}{6}y^3 - \frac{1}{2}y + C.$

Entonces

$latex \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-2x}} dx =\frac{1}{6}(1-2x)^{3/2} - \frac{1}{2}\sqrt{1-2x} + C.$

Problema 3. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle \int \frac{2x}{\sqrt{1-2x^2}} dx.$

Para esta observamos que la derivada de $latex 1 - 2x^2$ es $latex -4x$, así que

$latex \displaystyle \int \frac{2x}{\sqrt{1-2x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int(1-2x^2)^{-1/2}(-4x) dx = -\sqrt{1-2x^2} + C.$

Problema 4. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle \int \frac{u+1}{u^2\sqrt{u-1}} du.$

Aplicamos primero el cambio de variable $latex y = \sqrt{u-1}$. Entonces tenemos

$latex \displaystyle \int \frac{u+1}{u^2\sqrt{u-1}} du = \int \frac{y^2+2}{(y^2+1)^2 y} (2y)dy = 2 \int \frac{y^2+2}{(y^2+1)^2}dy.$

Usamos ahora $latex y = \tan z$ para obtener

$latex \displaystyle \int \frac{\tan^2 z+2}{(\tan^2z+1)^2} \sec^2 z\ dz = \int \frac{\sec^2z + 1}{\sec^2} dz = \int (1 + \cos^2z) dz,$

$latex \displaystyle \int (1 + \cos^2z) dz = \int \Big( \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2z\Big) dz = \frac{3}{2}z + \frac{1}{4}\sin 2z + C.$

Como

$latex \sin 2z = 2\sin z \cos z = 2\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}$

y $latex y=\sqrt{u-1}$, tenemos

$latex \displaystyle \int \frac{u+1}{u^2\sqrt{u-1}} du = \arctan \sqrt{u-1} + \frac{\sqrt{u-1}}{u} + C.$

Problema 5. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle \int \frac{x^2}{x^3-1} dx.$

Para esta sólo notamos que la derivada de $latex x^3-1$ es $latex 3x^2$, así que

$latex \displaystyle \int \frac{x^2}{x^3-1} dx = \frac{1}{3}\log|x^3-1| + C.$

Problema 6. Calcula la integral indefinida

$latex \displaystyle \int \cos x \cos 2x\ dx.$

Sólo utilizamos la identidad $latex \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ para obtener

$latex \displaystyle \int \cos x \cos 2x\ dx = \int \cos x(1 - 2\sin^2 x)dx = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + C.$