El problema 4 del examen de análisis real pedía mostrar lo siguiente.
Sea $latex F_n$ una sucesión decreciente de conjuntos compactos no vacíos en un espacio métrico X. Es decir, $latex F_n\not=\emptyset$ y $latex F_{n+1}\subset F_n$ para todo $latex n$. Entonces
Para mostrar esto, tomamos, para cada $latex n$, un $latex x_n\in F_n$ (hemos asumido que cada $latex F_n$ no es vacío). Como $latex F_{n+1}\subset F_n$ para cada $latex n$, esto implica que $latex F_m\subset F_n$ para todo $latex m\ge n$, y en particular la sucesión $latex (x_n)$ es una sucesión en $latex F_1$. Como $latex F_1$ es compacto, entonces tiene una subsucesión que converge, digamos $latex x_{n_k}\to x$. Mostraremos que $latex x\in F_n$ para todo $latex n$, y entonces $latex x\in\bigcap F_n.$
Para cada $latex n$, $latex x_{n_k}\in F_n$ para todo $latex k\ge n$, y entonces $latex (x_{n_k})_{k=n}^\infty$ es una sucesión en $latex F_n$, y $latex x_{n_k}\to x$. Como $latex F_n$ es compacto, es cerrado en $latex X$, y por lo tanto $latex x\in F_n$, como queríamos demostrar.
Para observar que no es suficiente con suponer que los $latex F_n$ sean cerrados, consideramos por ejemplo $latex X=\R$ y $latex F_n = [n,\infty)$, el intervalo cerrado de números mayores o iguales a $latex n$. Entonces los $latex F_n$ son cerrados, no vacíos, y $latex F_{n+1}\subset F_n$, pero la intersección $latex \bigcap F_n$ es vacía.
El problema anterior es un caso particular donde aparece la llamada propiedad de intersección finita (PIF). Decimos que la colección de conjuntos $latex \{F_\alpha\}$ satisface la PIF si, para cada subcolección finita
la intersección de ellos no es vacía, es decir
Una sucesión $latex A_n$ decreciente de conjuntos no vacíos satisface la PIF, porque
donde $latex N = \max\{n_1,n_2,\ldots,n_k\}$.
Tenemos el siguiente teorema.
Teorema. Sea $latex X$ compacto. Entonces, si la colección $latex \{F_\alpha\}$ de conjuntos cerrados satisface la PIF, $latex \bigcap_\alpha F_\alpha \not=\emptyset.$
Notamos que, como $latex X$ es compacto, entonces cada cerrado $latex F_\alpha\subset X$ es compacto también.
Demostración: Haremos la demostración por contradicción. Así que asumimos que $latex \bigcap_\alpha F_\alpha = \emptyset.$
Para cada $latex \alpha$ definimos $latex U_\alpha = X\setminus F_\alpha$. Entonces $latex U_\alpha$ es abierto y, por las leyes de De Morgan,
y luego $latex \{U_\alpha\}$ es una cubierta para $latex X$. Como $latex X$ es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos $latex \{ U_{\alpha_1},\ldots, U_{\alpha_k}\}$. Pero entonces
lo cual implica que $latex \bigcap_{i=1}^k F_{\alpha_i}=\emptyset$ y contradice la PIF que satisface la colección $latex \{F_\alpha\}$.
La inversa también es cierta: Si $latex X$ es un espacio tal que la intersección de una colección de conjuntos cerrados que satisfacen la PIF no es vacía, entonces $latex X$ es compacto. La demostración es semejante a la anterior, para que la intenten ustedes.
Sea $latex F_n$ una sucesión decreciente de conjuntos compactos no vacíos en un espacio métrico X. Es decir, $latex F_n\not=\emptyset$ y $latex F_{n+1}\subset F_n$ para todo $latex n$. Entonces
$latex \displaystyle \bigcap_n F_n \not=\emptyset.$
Para mostrar esto, tomamos, para cada $latex n$, un $latex x_n\in F_n$ (hemos asumido que cada $latex F_n$ no es vacío). Como $latex F_{n+1}\subset F_n$ para cada $latex n$, esto implica que $latex F_m\subset F_n$ para todo $latex m\ge n$, y en particular la sucesión $latex (x_n)$ es una sucesión en $latex F_1$. Como $latex F_1$ es compacto, entonces tiene una subsucesión que converge, digamos $latex x_{n_k}\to x$. Mostraremos que $latex x\in F_n$ para todo $latex n$, y entonces $latex x\in\bigcap F_n.$
Para cada $latex n$, $latex x_{n_k}\in F_n$ para todo $latex k\ge n$, y entonces $latex (x_{n_k})_{k=n}^\infty$ es una sucesión en $latex F_n$, y $latex x_{n_k}\to x$. Como $latex F_n$ es compacto, es cerrado en $latex X$, y por lo tanto $latex x\in F_n$, como queríamos demostrar.
$latex \square$
Para observar que no es suficiente con suponer que los $latex F_n$ sean cerrados, consideramos por ejemplo $latex X=\R$ y $latex F_n = [n,\infty)$, el intervalo cerrado de números mayores o iguales a $latex n$. Entonces los $latex F_n$ son cerrados, no vacíos, y $latex F_{n+1}\subset F_n$, pero la intersección $latex \bigcap F_n$ es vacía.
El problema anterior es un caso particular donde aparece la llamada propiedad de intersección finita (PIF). Decimos que la colección de conjuntos $latex \{F_\alpha\}$ satisface la PIF si, para cada subcolección finita
$latex F_{\alpha_1}, F_{\alpha_2}, \ldots, F_{\alpha_k} \in \{F_\alpha\},$
la intersección de ellos no es vacía, es decir
$latex \bigcap_{i=1}^k F_{\alpha_i} \not=\emptyset.$
Una sucesión $latex A_n$ decreciente de conjuntos no vacíos satisface la PIF, porque
$latex A_{n_1}\cap A_{n_2}\cap \ldots A_{n_k} = A_N \not=\emptyset,$
donde $latex N = \max\{n_1,n_2,\ldots,n_k\}$.
Tenemos el siguiente teorema.
Teorema. Sea $latex X$ compacto. Entonces, si la colección $latex \{F_\alpha\}$ de conjuntos cerrados satisface la PIF, $latex \bigcap_\alpha F_\alpha \not=\emptyset.$
Notamos que, como $latex X$ es compacto, entonces cada cerrado $latex F_\alpha\subset X$ es compacto también.
Demostración: Haremos la demostración por contradicción. Así que asumimos que $latex \bigcap_\alpha F_\alpha = \emptyset.$
Para cada $latex \alpha$ definimos $latex U_\alpha = X\setminus F_\alpha$. Entonces $latex U_\alpha$ es abierto y, por las leyes de De Morgan,
$latex \displaystyle \bigcup_\alpha U_\alpha = \bigcup_\alpha X\setminus F_\alpha = X\setminus \bigcap_\alpha F_\alpha = X\setminus\emptyset = X,$
y luego $latex \{U_\alpha\}$ es una cubierta para $latex X$. Como $latex X$ es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos $latex \{ U_{\alpha_1},\ldots, U_{\alpha_k}\}$. Pero entonces
$latex \displaystyle X \subset U_{\alpha_1}\cup\ldots\cup U_{\alpha_k} = X\setminus \bigcap_{i=1}^k F_{\alpha_i},$
lo cual implica que $latex \bigcap_{i=1}^k F_{\alpha_i}=\emptyset$ y contradice la PIF que satisface la colección $latex \{F_\alpha\}$.
$latex \square$
La inversa también es cierta: Si $latex X$ es un espacio tal que la intersección de una colección de conjuntos cerrados que satisfacen la PIF no es vacía, entonces $latex X$ es compacto. La demostración es semejante a la anterior, para que la intenten ustedes.
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