Aproximaciones a la identidad pares

El Problema 4 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en mostrar que, si $latex f$ tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en el punto $latex x$, entonces tanto las sumas de Cesàro como las sumas de Abel convergen a $latex \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ en $latex x$. Mostraremos el siguiente teorema, que implica ambos resultados.

Teorema. Sea $latex \{K_n\}$ una aproximación a la identidad de núcleos pares, o sea, $latex K_n(-x) = K_n(x)$. Si $latex f$ es Riemann-integrable en el círculo y tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en $latex x$, entonces

$latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} f*K_n(x) = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}.$

La demostración es similar a la vista en clase. Notamos que, si $latex K_n$ es par, entonces $latex \int_{-\pi}^0 K_n = \int_0^\pi K_n = \frac{1}{2}$.

Sea $latex \e>0$. Tomamos $latex \delta>0$ tal que, para $latex |x-y|<\delta$,

$latex |f(x^-) - f(y)| < \dfrac{\e}{2M}$ si $latex y<x$ y $latex |f(x^+)-f(y)|<\dfrac{\e}{2M}$ si $latex y>x,$

donde $latex M>0$ es tal que $latex \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |K_n| \le M$ para todo $latex n$.

Si $latex A>0$ es tal que $latex |f(y)|\le A$ para todo $latex y\in[-\pi,\pi]$, sea $latex N$ tal que, si $latex n\ge N$, entonces

$latex \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{\delta\le|y|\le\pi}|K_n(y)|dy < \frac{\e}{4A}.$

Entonces, para $latex n\ge N$,

$latex \displaystyle \Big|f*K_n(x) - \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}\Big|$

$latex \displaystyle\le \frac{1}{2\pi} \bigg( \int_{-\pi}^0 |f(x-y)-f(x^+)| |K_n(y)|dy + \int_0^\pi |f(x-y)-f(x^-)| |K_n(y)|dy \bigg)$

$latex \displaystyle\le \frac{1}{2\pi} \bigg( \int_{-\pi}^{-\delta}2A |K_n(y)|dy + \int_\delta^0 \frac{\e}{2M} |K_n(y)|dy$

$latex \displaystyle + \int_0^\delta \frac{\e}{2M} |K_n(y)| dy + \int_\delta^\pi 2A |K_n(y)| dy \bigg)$

$latex \displaystyle \le \frac{1}{2\pi} \bigg( \frac{\e}{2M} \int |K_n| + 2A \int_{\delta\le|y|\le\pi}|K_n(y)|dy \bigg) < \frac{\e}{2} + \frac{\e}{2} = \e.$