Debido a que las últimas dos semanas no hemos tenido nuestra sesión de solución de problemas para Álgebra 3, aquí tienen las soluciones a problemas selectos de las últimas dos tareas.
Problemas 1-2. Decidir si los polinomios son irreducibles y obtener su factorización en irreducibles.
Problema 3. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios, primero sobre $latex \Q$, luego sobre $latex \R$, y finalmente sobre $latex \C$.
2. $latex x^5 + x + 1$. El polinomio se factoriza sobre $latex \Q$ de la forma $latex (1 + x + x^2)(1 - x^2 + x^3)$, y ambos son irreducibles sobre $latex \Q$. Entonces el polinomio no tiene ceros sobre $latex \Q$.
Sobre $latex \R$, el polinomio $latex 1 + x + x^2$ no tiene ceros. Sin embargo, $latex f(x) = 1 - x^2 + x^3$ sí tiene una raíz real, que se puede obtener de la fórmula de Cardano.
Con la substitución $latex x\to y+\dfrac{1}{3}$, obtenemos el polinomio $latex g(x) = y^3 - \dfrac{1}{3}y + \dfrac{25}{27}$. Entonces, de la fórmula de Cardano, con $latex p = - \dfrac{1}{3}$ y $latex q = \dfrac{25}{27}$, obtenemos que $latex g(x)$ tiene el cero
y por lo tanto $latex f(x)$ tiene el cero
Sobre $latex \C$, los ceros de $latex 1 + x + x^2$ son $latex \omega, \bar\omega$, las raíces cúbicas de 1. Los ceros de $latex 1 - x^2 + x^3$, además de $latex x_0$, son
y
Problema 5. Muestra que los números $latex 1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6$ son linealmente independientes sobre $latex \Q$.
Supongamos que $latex a,b,c,d\in\Q$ son tales que $latex a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 6 = 0$. Entonces $latex b\sqrt 2 + c\sqrt 3 = -(a + d\sqrt 6)$. Tomando cuadrados obtenemos
de lo cual se obtiene que $latex 2(bc - ad)\sqrt 6 = a^2 + 6d^2 - 2b^2 - 3c^2$. Como $latex \sqrt 6\not\in\Q,$ $latex bc = ad$ y $latex a^2 + 6d^2 = 2b^2 + 3c^2$.
Entonces $latex b = \lambda a$ y $latex d = \lambda c$ para algún $latex \lambda\in\Q,$ y $latex a^2 + 6\lambda^2c^2 = 2\lambda^2a^2+3c^2$, de lo cual obtenemos $latex (2\lambda^2-1)a^2 = 3(2\lambda^2-1)c^2.$ Como $latex \sqrt 3\not\in\Q$ y $latex 2\lambda^2-1\not=0$ porque $latex \sqrt 2\not\in\Q$, concluimos que $latex a=c=0$. Pero entonces $latex 6d^2 = 2b^2$, y por lo tanto también $latex b=d=0$.
Problema 3. Considera las extensiones $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$. Si $latex \alpha$ tiene polinomio mínimo $latex x^2-2$ sobre $latex \Q$ y $latex \beta$ tiene polinomio mínimo $latex x^2-4x+2$ sobre $latex \Q$, muestra que $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$ son isomorfas.
Como $latex \sqrt 2$ es un cero de $latex x^2 - 2$ y $latex 2+\sqrt 2$ es un cero de $latex x^2-4x +2$, entonces $latex Q(\sqrt 2):\Q$ es isomorfa a $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex Q(2+\sqrt 2):\Q$ es isomorfa a $latex \Q(\beta):\Q$. Pero claramente $latex \Q(\sqrt 2) = \Q(2+\sqrt 2)$.
Problema 4. Sea $latex K\subset\C$ un subcampo y $latex p(x)$ un polinomio cuadrático sobre $K$. Muestra que existe $latex \alpha\in\C$ tal que $latex \alpha^2\in K$ y $latex K(\alpha)$ contiene a los ceros de $latex p(x)$.
Si $latex p(x) = ax^2 + bx + c$, entonces podemos tomar $latex \alpha = \sqrt{b^2 - 4ac}$, por la fórmula cuadrática.
Tarea 3
Problemas 1-2. Decidir si los polinomios son irreducibles y obtener su factorización en irreducibles.
- $latex x^4 + 1$ sobre $latex \mathbb R$. Su factorización es $latex (x^2 + \sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)$
- Sobre $latex \Q$ es irreducible, por factorización única.
- $latex x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ sobre $latex \Q$ no es irreducible. Su factorización es $latex (1+x)(1 - x + x^2) (1 + x + x^2)$.
Problema 3. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios, primero sobre $latex \Q$, luego sobre $latex \R$, y finalmente sobre $latex \C$.
2. $latex x^5 + x + 1$. El polinomio se factoriza sobre $latex \Q$ de la forma $latex (1 + x + x^2)(1 - x^2 + x^3)$, y ambos son irreducibles sobre $latex \Q$. Entonces el polinomio no tiene ceros sobre $latex \Q$.
Sobre $latex \R$, el polinomio $latex 1 + x + x^2$ no tiene ceros. Sin embargo, $latex f(x) = 1 - x^2 + x^3$ sí tiene una raíz real, que se puede obtener de la fórmula de Cardano.
Con la substitución $latex x\to y+\dfrac{1}{3}$, obtenemos el polinomio $latex g(x) = y^3 - \dfrac{1}{3}y + \dfrac{25}{27}$. Entonces, de la fórmula de Cardano, con $latex p = - \dfrac{1}{3}$ y $latex q = \dfrac{25}{27}$, obtenemos que $latex g(x)$ tiene el cero
$latex \displaystyle y_0 = \sqrt[3]{-\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{ - \frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}},$
y por lo tanto $latex f(x)$ tiene el cero
$latex \displaystyle x_0 = \frac{1}{3} + \sqrt[3]{-\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{ - \frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}}.$
Sobre $latex \C$, los ceros de $latex 1 + x + x^2$ son $latex \omega, \bar\omega$, las raíces cúbicas de 1. Los ceros de $latex 1 - x^2 + x^3$, además de $latex x_0$, son
$latex \displaystyle \frac{1}{3} + \omega\sqrt[3]{-\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \bar\omega\sqrt[3]{ - \frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}},$
y
$latex \displaystyle \frac{1}{3} + \bar\omega\sqrt[3]{-\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \omega\sqrt[3]{ - \frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}}.$
Problema 5. Muestra que los números $latex 1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6$ son linealmente independientes sobre $latex \Q$.
Supongamos que $latex a,b,c,d\in\Q$ son tales que $latex a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 6 = 0$. Entonces $latex b\sqrt 2 + c\sqrt 3 = -(a + d\sqrt 6)$. Tomando cuadrados obtenemos
$latex 2b^2 + 3c^2 + 2bc\sqrt 6 = a^2 + 6d^2 + 2ad\sqrt 6,$
de lo cual se obtiene que $latex 2(bc - ad)\sqrt 6 = a^2 + 6d^2 - 2b^2 - 3c^2$. Como $latex \sqrt 6\not\in\Q,$ $latex bc = ad$ y $latex a^2 + 6d^2 = 2b^2 + 3c^2$.
Entonces $latex b = \lambda a$ y $latex d = \lambda c$ para algún $latex \lambda\in\Q,$ y $latex a^2 + 6\lambda^2c^2 = 2\lambda^2a^2+3c^2$, de lo cual obtenemos $latex (2\lambda^2-1)a^2 = 3(2\lambda^2-1)c^2.$ Como $latex \sqrt 3\not\in\Q$ y $latex 2\lambda^2-1\not=0$ porque $latex \sqrt 2\not\in\Q$, concluimos que $latex a=c=0$. Pero entonces $latex 6d^2 = 2b^2$, y por lo tanto también $latex b=d=0$.
Tarea 4
Problema 3. Considera las extensiones $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$. Si $latex \alpha$ tiene polinomio mínimo $latex x^2-2$ sobre $latex \Q$ y $latex \beta$ tiene polinomio mínimo $latex x^2-4x+2$ sobre $latex \Q$, muestra que $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex \Q(\beta):\Q$ son isomorfas.
Como $latex \sqrt 2$ es un cero de $latex x^2 - 2$ y $latex 2+\sqrt 2$ es un cero de $latex x^2-4x +2$, entonces $latex Q(\sqrt 2):\Q$ es isomorfa a $latex \Q(\alpha):\Q$ y $latex Q(2+\sqrt 2):\Q$ es isomorfa a $latex \Q(\beta):\Q$. Pero claramente $latex \Q(\sqrt 2) = \Q(2+\sqrt 2)$.
Problema 4. Sea $latex K\subset\C$ un subcampo y $latex p(x)$ un polinomio cuadrático sobre $K$. Muestra que existe $latex \alpha\in\C$ tal que $latex \alpha^2\in K$ y $latex K(\alpha)$ contiene a los ceros de $latex p(x)$.
Si $latex p(x) = ax^2 + bx + c$, entonces podemos tomar $latex \alpha = \sqrt{b^2 - 4ac}$, por la fórmula cuadrática.
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