Ricardo A. Sáenz

Esta es una lista de las principales ideas vistas en el curso, y que sirve como referencia para prepararse para cualquiera de los exámenes finales (ordinario, extraordinario, regularización). Números reales Propiedad arquimidiana Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Convergencia condicional Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex limsup$  Teorema de Abel Series de Fourier Núcleo de Dirichlet Lema de Riemann Teorema de Dirichlet Teoremas del cálculo V...

Como se establece en el programa del curso, 50% de la calificación ordinaria consiste en el desarrollo de un proyecto final. El proyecto debe ser entregado el 9 de diciembre, antes del examen ordinario escrito. A continuación, la lista de proyectos finales a desarrollar. Continuidad de funciones aditivas Fernando Cedeño Teorema de Tauber Carolina Estévez Incontabilidad de los reales Uri Gallegos Funciones trigonométricas Cristina Núñez

El segundo examen parcial es este viernes, y aquí tienen una guía del material cubierto que puede ayudarles a prepararse. Completitud de los reales Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Criterios de convergencia por comparación Criterios del cociente y la raíz Criterio de condensación de Cauchy; criterio p Criterio de la integral Convergencia condicional Series alternantes Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series hipergeométricas Criterio de Gauss Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M  de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex ...

Fecha de entrega: 29 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ continuas en $latex [a,b]$ tales que $latex \displaystyle \int_a^b f = \int_a^b g$. Muestra que existe $latex c\in[a,b]$ tal que $latex f(c) = g(c)$. Problema 2 Sea $latex \phi:[a,b]\to[c,d]$ diferenciable, inyectiva y creciente, tal que $latex \phi(a) = c$ y $latex \phi(b) = d$. Si $latex f$ es integrable en $latex [c,d]$, entonces $latex (f\circ\phi)\phi'$ es integrable en $latex [a,b]$ y  $latex \displaystyle \int_c^d f(x) dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t) dt$. Problema 3 Sean $latex f,g$ integrables en $latex [a,b]$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b fg \Big)^2 \le \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b (f+g)^2 \Big)^{1/2} \le \Big( \int_a^b f^2 \Big)^{1/2} + \Big( \int_a^b g^2 \Big)^{1/2}$ Problema 4 Sea $latex f$ periódica en $latex \mathbb R$, con periodo $latex T$, e integrable en $latex [0,T]$. Entonces, para cualquier $latex a...

Fecha de entrega: 22 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex [a,b]$ tales que $latex f', g'$ son integrables. Muestra que $latex f'g, fg'$ son integrables y $latex \displaystyle \int f'g = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int g'f.$ Problema 2 Sea $latex f$ integrable en $latex [a,b]$ tal que $latex 1/f$ es acotada. Muestra que $latex 1/f$ es integrable en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [0,1]$ y, para cada $latex n$, define en $latex [0,1]$ la función $latex g_n(x) = f(x^n)$. Muestra que $latex \displaystyle \int g_n \to f(0).$ Problema 4 Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{3\sqrt 2} \le \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx \le \frac{1}{3}$. Problema 5 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$ y $latex M$ su valor absoluto máximo. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int |f|^n \Big)^{1/n} \to M$.

Fecha de entrega: 15 de noviembre Problema 1 Muestra de manera directa que, si $latex f$ es continua en $latex [a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 2 Muestra que, si $latex f$ es acotada y continua en $latex [a,b]$ excepto en un punto $latex x_0\in[a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 3 Considera la función $latex f(x) = x$ en $latex [a,b]$. Muestra que, para cualquier partición $latex \mathcal P$,  $latex L(f,\mathcal P) \le \dfrac{b^2-a^2}{2} \le U(f,\mathcal P)$. Concluye que $latex \displaystyle \int f = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 4 Sea $latex f$ integrable en $latex [0,1]$. Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n}\Big) \to \int f.$ Problema 5 Sea $latex f$ integrable en $latex [-a,a]$. Si $latex f$ es impar, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 0$. Si $latex f$ es par, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.

Fecha de entrega: 8 de noviembre Problema 1 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ definida en $latex [-\pi,\pi]$ como $latex F(x) = x, x\in(-\pi, \pi)$, $latex F(\pm\pi)=0$. Averiguar si la serie converge en cada $latex x$. ¿Converge uniformemente? Problema 2 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ dada por $latex F(x) = x(x+\pi), x\in[-\pi,0]$, y $latex F(x) = x(\pi-x), x\in[0,\pi]$. De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas. Problema 3 Muestra las siguientes identidades, para $latex k,n\in\mathbb Z_+$. $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \cos n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin k x \sin n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \sin n x dx = 0$ Problema 4 Considera la función $latex f(x) = \sin...

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ es diferenciable en todo $latex x$. Problema 2 Sean $latex s_1, s_2, s_3, \ldots$ funciones acotadas tales que convergen a $latex F$. ¿Podemos concluir que $latex F$ es acotada? Si $latex s_n$ converge uniformemente a $latex F$, ¿podemos concluir que $latex F$ es acotada? Problema 3 Determina si las siguientes series convergen uniformemente en el conjunto dado. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 x^2 e^{-n^2|x|}$ en $latex \mathbb R$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \sin\frac{1}{3^nx}$ en $latex (0,\infty)$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\pi}{2}-\arctan(n^2(1+x^2))\Big)$ en $latex \mathbb R$. Problema 4 Encuentra un ejemplo de una serie de potencias $latex \sum a_n x^n$ que converge en $latex x=R$ tal que la serie de derivadas $latex \sum na_nx^{n-1}$ no converge en $latex x = R$. Utiliza el e...

Fecha de entrega: 25 de octubre Problema 1 Considera la serie $latex \displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \ldots = \frac{\pi}{4}$.  Muestra que la serie de términos positivos $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \ldots$ diverge. Considera el reordenamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7} + \ldots = s$. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle \Big(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\Big) + \Big(\frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7}\Big) + \ldots$ para encontrar una cota inferior para el límite $latex s$ de la serie. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{13}\Big) - \Big(\frac{1}{7} - \frac{1}{17} - \frac{1}{21}\Big) - \ldots$ para encontrar una cota superior para el límite $latex s$ de la ser...

La demostración del criterio de Gauss, para la convergencia de series hipergeométricas, visto en clase la encuentran en la página de recursos del texto:  Resources for A Radical Approach to Real Analysis

Fecha de entrega: 18 de octubre Problema 1 Encuentra el conjunto donde las siguientes series de funciones convergen. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{2+(-1)^n}{5+(-1)^{n+1}}\Big)^n x^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^{n^2}x^{n!}$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\Big(\frac{2x+1}{x}\Big)^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt n (\tan x)^n$ Problema 2 Encuentra el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_nx^n$ en cada uno de los siguientes casos. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n n^\alpha| \to L$. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n \alpha^n| \to L$. Existe $latex L>0$ tal que $latex |a_n n!| \to L$. Problema 3 Sea $latex a_n$ una sucesión de números positivos. Muestra que $latex \displaystyle \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Problema 4 Explica por qué la serie $la...

Aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen de mañana. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud:  principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo teorema de Bolzano-Weierstrass Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y mínimo de una función continua Fermat: derivada cero en extremos  Valor...

Fecha de entrega: 11 de octubre Problema 1 Encuentra una serie divergente tal que los valores del primer millón de las sumas parciales $latex s_1, s_2, \ldots, s_{1,000,000}$ coinciden en los primeros 10 dígitos significativos. Problema 2 Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para mostrar que toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente. Si $latex x_n$ es una sucesión de Cauchy y $latex x_{n_k}$ es una subsucesión tal que $latex x_{n_k}\to L$, muestra que $latex x_n\to L$. Concluye que el teorema de Bolzano-Weierstrass es equivalente a las versiones del axioma de completitud vistas en clase. Problema 3 Es sabido que los números de Bernoulli satisfacen la estimación $latex B_{2k} \sim (-1)^{k-1}\dfrac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$ (ver, por ejemplo, [ Weisstein , (41)]). Utiliza la estimación anterior para mostrar que la serie $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k-1)(2k)n^{2k-1}}$ vista en clase diverge para todo $latex n$. Pr...

Fecha de entrega: 4 de octubre Problema 1 Sea $latex f$ continua en $latex [0,2]$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,2]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) - f(b) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2}$. Sea $latex f$ continua en $latex [0,n]$, donde $latex n\in\mathbb Z_+$, tal que $latex f(0) = f(n)$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,n]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) = f(b)$. Problema 2 Sea $latex f$ diferenciable en $latex [a,b]$ tal que $latex f(a) = f(b) = 0$, $latex f'(a)>0$ y $latex  f'(b) > 0$. Muestra que existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex f(c) = 0$ y $latex f'(c) \le 0$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [a,\infty)$ con $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)$ finito. Muestra que $latex f$ es acotada en $latex [a,\infty)$. Problema 4 Considera la función $latex f(x) = x...

Fecha de entrega: 27 de septiembre Problema 1 Para $latex x>-1, x\not=0$, muestra que $latex (1+x)^\alpha > 1 + \alpha x$, si $latex \alpha > 1$ o $latex \alpha < 0$; $latex (1+x)^\alpha < 1 + \alpha x$, si $latex 0 < \alpha < 1$. Problema 2 Muestra que cada una de las siguientes ecuaciones tiene exactamente una raíz real. $latex x^{13} + 7x^3 - 5 = 0$ $latex 3^x + 4^x = 5^x$ Problema 3 Explica el error en el siguiente uso de la regla de L'Hospital: si $latex f(x) = x^2\sin(1/x), g(x) = x$, entonces $latex f$ y $latex g$ son continuas, $latex f(0) = g(0) = 0$, y $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 4 Modifica la demostración de la regla $latex \infty/\infty$ de L'Hospital vista en clase para demostrar el siguiente enunciado: si $latex f,g$ son diferenciables en un intervalo que contiene a $latex x_...

Fecha de entrega: 20 de septiembre Problema 1 Muestra que el enunciado " todo conjunto acotado no vacío tiene supremo " implica el principio de intervalos encajados. Problema 2 Demuestra que si $latex f$ es diferenciable en $latex [a,b]$ y $latex f'$ es monótona en pedazos en $latex [a,b]$, entonces es $latex f'$ continua en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex p(x)$ un polinomio de grado al menos 2 cuyas raíces son reales y distintas. Demuestra que las raíces de $latex p'(x)$ tienen que ser reales. Explica qué pasa si algunas de las raíces de $latex p(x)$ son múltiples. Problema 4 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$, diferenciable en $latex (a,b)$, y tal que $latex f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f(a)\not=f(b)$. Problema 5 Muestra que la aproximación $latex \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2$ tiene un error de a lo más $latex |x|^3/2$, si $latex |x|<1/2$.

Fecha de entrega: 13 de septiembre Problema 1 Muestra los siguientes enunciados, utilizados en las demostraciones vistas en clase. Si $latex a_n < c < b_n$, $latex a_n\to L$ y $latex b_n\to M$, entonces $latex L \le c \le M$. Si $latex f$ es monótona en cada subintervalo $latex (x_{i-1},x_i)$, $latex i=1,2,\ldots,n$, de la partición $latex a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ del intervalo $latex [a,b]$, entonces es continua en cada $latex x_i$, $latex i = 1, 2, \ldots, n-1$. Si $latex a\not=0$ y $latex |a-b|<|a|$, entonces $latex a$ y $latex b$ tienen el mismo signo. Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua en todo punto. Muestra que $latex f$ tiene un punto fijo, es decir, existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$. Problema 3 Muestra que la función $latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & x \text{ racional}\\0 & x \text{ irracional}\end{cases}$ es discontinua en todo punto. Problema 4 Discute la continuidad de la fun...

Cauchy Pueden leer completo el texto de Cauchy Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique  (Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica) en Google Books:  Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique . Cauchy enuncia el teorema del valor intermedio en la página 43, Teorema 4 de la sección 2 del capítulo 2. Ahí da la idea de la demostración, pero la demostración rigurosa la incluye en la página 460, donde utiliza el principio de intervalos encajados que vimos en clase. Estudiaremos esta demostración la próxima semana. Pueden encontrar partes de la traducción al inglés aquí:  Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation El texto Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal también lo pueden leer en Google Books:  Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal . La demostración del teorema del valor medio (incorrecta) que discutimos en clase se encuentra en las páginas 27-28. La versión más general la discute en el apéndice, a partir de la ...

Fecha de entrega: 6 de septiembre Problema 1 Muestra que si $latex f$ es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}f'(x)$. ( Sugerencia:  Utiliza el teorema del valor medio en el intervalo de $latex x_0$ a $latex x$, para cada $latex x$.) Problema 2 Si $latex f$  y $latex g$ son diferenciables en $latex a$, encuentra $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{x-a}$ Problema 3 Sea $latex f$ diferenciable en $latex 0$, $latex f(0) = 0$, y $latex k\in\mathbb Z_+$. Encuentra, si existe, el valor de $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\Big( f(x) + f\Big(\frac{x}{2}\Big) + f\Big(\frac{x}{3}\Big) + \ldots + f\Big(\frac{x}{k}\Big)\Big).$ Problema 4 Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que con...

Fecha de entrega: 30 de agosto Problema 1 Demuestra, integrando por partes, la identidad de Bernoulli $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt = xf(x) - \frac{x^2}{2!}f'(x) + \frac{x^3}{3!}f''(x) - \frac{x^4}{4!}f'''(x) + \ldots$. Demuestra que la identidad anterior se sigue de la serie de Taylor. ( Sugerencia:  Muestra primero que $latex \displaystyle f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0) = f^{(n+1)}(0)x + \frac{f^{(n+2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(n+3)}(0)}{3!}x^3 + \ldots$.) Problema 2 Encuentra el residuo de Lagrange para la serie binomial $latex \displaystyle (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \ldots$. Simplifica el residuo para el caso $latex a=-1$ ¿Qué ocurre si $latex x=1$? ¿El residuo converge a 0 cuando $latex n\to\infty$? Problema 3 Indica cuál es el problema con el siguiente argumento: si $latex D_n(0,x)$ es el residuo de la serie geométrica $latex \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x̣^3 + \ldot...

Fecha de entrega: 23 de agosto Problema 1 Utiliza la expansión de Leibniz para mostrar que $latex \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{5\cdot 7} + \dfrac{1}{9\cdot 11} + \ldots$. Problema 2 Demuestra la identidad de Machin $latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$. Problema 3 Demuestra la identidad $latex \displaystyle \int_0^1 (1 - x^{1/p})^q dx = \frac{q}{p+q} \int_0^1 (1 - x^{1/p})^{q-1}dx$. Problema 4 En 1668, James Gregory encontró una mejor serie (es decir, que converge más rápido) para el logaritmo.  Muestra que $latex \log\Big(\dfrac{1+y}{1-y}\Big) = 2\Big( y + \dfrac{y^3}{3} + \dfrac{y^5}{5} + \ldots\Big)$. Utiliza la serie anterior para concluir $latex \log(1 + x) = 2 \Big( \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{x}{x+2}\Big)^3 + \ldots \Big)$. ¿Para qué $latex x$ converge esta serie? ¿Cuántos términos necesitamos sumar para aproximar $latex \log 5$ con 5 cifras significativas? Problema 5 ...

Referencias adicionales de clase Pueden leer una traducción al inglés de la monografía de Fourier aquí:  The analytical theory of heat . La deducción de la ecuación del calor en equilibrio, $latex \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,$ (en tres dimensiones) la encuentran en la Sección IV del Capítulo II , mientras que la serie vista en clase la discute en las secciones II y III del Capítulo III . El título de la sección II es, de hecho, "Primer ejemplo del uso de una serie trigonométrica en la teoría del calor". Fourier estaba confiado en que no sería el único. En el siguiente link pueden encontrar el trabajo de Arquímedes sobre la parábola y su área:  Archimedes' quadrature of the parabola . Esas notas son parte de una traducción de las obras completas de Arquímedes. En ellas se establece que el área de la parábola es la serie $latex 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1...

Fecha de entrega: 16 de agosto Problema 1 Considera la serie de Fourier vista en clase $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$ ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x  se acerca a 1 por la izquierda? ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x  se acerca a 1 por la derecha? ¿Cuál es el valor de esta serie si  x =1? Problema 2 Considera la serie que obtenemos si diferenciamos término a término la serie anterior: $latex \displaystyle -2\Big( \sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2} + \sin\frac{5\pi x}{2} - \sin\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$. Grafica las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos. ¿Te parece que estas gráficas se acerquen a la función 0? Evalúa las sumas parciales con hasta 20 términos para los siguientes valores de  x : 0, 0.2, 0.3, 0.5, 1. ¿Te parece que estas su...

Here you can find the complete notes for the course:  HarmonicAnalysis.pdf

Notes on the eigenfunctions of the Laplacian on the Sierpińsky gasket:  Chapter15.pdf

Notes on the harmonic structure and the Laplacian on the Sierpiński gasket:  Chapter14.pdf

Notes on the Hausdorff dimension and fractal sets:  Chapter13.pdf

Due June 7 Problem 1 For $latex m\ge 2$, there is no Dirichlet eigenfunction on $latex V_m$ with respect to $latex \lambda_m=2$. Problem 2 The Dirichlet eigenfunctions on $latex V_m$ constructed in class, with respect to $latex \lambda_m=5$, are linearly independent. If we add the three eigenfunctions chained from $latex p_1$ to $latex p_2$, from $latex p_2$ to $latex p_3$, and from $latex p_3$ to $latex p_1$, they are linearly dependent. Problem 3 Let $latex \mathcal E_m$ be a sequence of Dirichlet forms such that  $latex \displaystyle \mathcal E_m(u,v) = \sum_{j=1}^N \frac{1}{r_j}\mathcal E_{m-1}(u\circ f_j,v\circ f_j)$ and, given a function $latex u$ on $latex V_0$, $latex \min\{\mathcal E_1(v,v): v|_{V_0} = u\} = \mathcal E_0(u,u)$, then $latex \min\{\mathcal E_m(v,v): v|_{V_{m-1}} = u\} = \mathcal E_{m-1}(u,u)$ for every $latex m\ge1$ and any given function $latex u$ on $latex V_{m-1}$. Problem 4 Calculate all harmonic structures on the interval, s...

As stated in the syllabus, 50% of the midterms grades consist of a written essay of a short research project. The projects may be worked in pairs and the essay must be turn in by June 7. Each enrolled pair of students must choose a different project. Unenrolled students sitting in the course may work on a project, and are free to choose independently of other students, but cannot work with enrolled students. The following is the list of projects to choose from. The maximal operator on $latex L\log L$ functions Karla Flores and Jaime Hernández Functions equal to their Fourier transform Bernardo Ameneyro and Gabriel Rosales The Fourier transform of radial functions Yair Castillo and Rafael Morales

Due May 31st Problem 1 Let $latex u(x) = e^{\omega x}$ on $latex I=[0,1]$. Then, for each $latex m\ge 1$, $latex u|_{\mathcal P_m}$ is a discrete eigenfunction of $latex \Delta_m$ with eigenvalue $latex \lambda_m = \dfrac{\omega^2}{4^m} + O(2^{-3m})$. $latex \mathcal P_m$ is the dyadic partition $latex \{0, 1/2^m, \ldots, 1\}$ of $latex [0,1]$. Problem 2 Let $latex \phi(x) = 2 - \sqrt{4-x}$, for $latex x\in[0,4]$. $latex \phi(x) = \dfrac{1}{4}x + O(x^2)$ as $latex x\to0$. The sequence defined by, for given $latex \lambda_0\in[0,2]$, $latex \lambda_m = \phi(\lambda_{m-1})$ and $latex x_m = 4^m\lambda_m$ for $latex m\ge1$ satisfies $latex x_m - x_{m-1} = O(2^{-m})$. $latex x_m$ is Cauchy and hence converges. Problem 3 Let $latex \psi(x) = \dfrac{5 - \sqrt{25- 4x}}{2}$, for $latex x\in[0,4]$. $latex \psi(x) = \dfrac{1}{5}x + O(x^2)$ as $latex x\to0$. The sequence defined by, for given $latex \lambda_0\in[0,2]$, $latex \lambda_m = \psi(\lambda_{m-1})$ and ...

Due May 24th Problem 1 The minimum of $latex f(x,y,z) =$ $latex (a-x)^2 + (x-y)^2 + (y-a)^2 + (x-b)^2 + (b-z)^2 + (z-x)^2 + (y-z)^2 + (z-c)^2 + (c-y)^2$ is attained at $latex \displaystyle x^* = \frac{2a+2b+c}{5},\; y^* = \frac{2a+b+2c}{5},\; z^* = \frac{a+2b+2c}{5},$ with $latex f(x^*, y^*, z^*) = \dfrac{3}{5}\big((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\big).$ Problem 2 One can obtain the values $latex u(f_2(q_1)) = x, u(f_3(q_1)) = y$ of a harmonic function in terms of the values $latex a,b,c$ at the points $latex p_2, q_1, p_3$, respectively  (as in the figure below). Problem 3 If $latex u$ is a harmonic function with boundary values $latex u(p_1) = u(p_2) = 0$ and $latex u(p_3) = 1$, then its restriction to the bottom side of the Sierpinski triangle is an increasing function on $latex [0,1]$. ( Hint:  Use the previous problem.) Problem 4 If $latex u$ is harmonic on the Sierpinski gasket $latex S$, then there exists a constant $latex c>0$ such that $...

Due May 17 Problem 1 Let $latex s\ge 0$ and $latex \mathcal H^s$ the Hausdorff measure with exponent $latex s$ in $latex \mathbb R^d$. If $latex A\subset B$, then $latex \mathcal H^s(A) \le \mathcal H^s(B)$. If $latex A = \bigcup_j A_j$, then $latex \displaystyle \mathcal H^s(A) \le \sum_j \mathcal H^s(A_j)$. If $latex \text{dist}(A,B)>0$, then $latex \mathcal H^s(A\cup B) = \mathcal H^s(A) + \mathcal H^s(B)$. Problem 2 If $latex A\subset\mathbb R^d$ is countable, then $latex \dim(A) = 0$. Problem 3 If $latex 0 < p < 1$, the function $latex x\mapsto x^p$ is concave: for all $latex x,y>0$ and $latex t\in[0,1]$,  $latex (tx + (1-t)y)^p \ge t x^p + (1-t) y^p$. Problem 4 Let $latex f:\mathbb R^d \to \mathbb R^d$ be a similitude with coefficient $latex \alpha >0$: for every $latex x,y\in\mathbb R^d$,  $latex |f(x) - f(y)| = \alpha |x-y|$. Let $latex g(x) = \dfrac{1}{\alpha} (f(x) - f(0))$. For all $latex x,y\in\mathbb R^d$, $latex g(x...

Notes on the Dirichlet principle:  Chapter12.pdf

Due May 13 Problem 1 Let $latex X$ be a closed subspace of the Hilbert space $latex \mathscr H$. $latex X^\perp = \{x\in\mathscr H: x\perp X \}$ is a closed subspace of $latex \mathscr H$. $latex \mathscr H \cong X\oplus X^\perp$ Problem 2 If $latex g$ is the weak derivative of $latex f\in L^2(\mathbb R^d)$ with respect to $latex x_j$, then $latex \hat g(\xi) = 2\pi i \xi_j \hat f(\xi).$ Problem 3 Let $latex \mathscr H^1(\Omega)$ be the set of equivalence classes in $latex H^1(\Omega)$ under the relation $latex f\sim g$ if and only if $latex f-g$ is a constant. $latex \mathscr H^1(\Omega)$ is a vector space. The bilinear form $latex \mathcal E$ is an inner product on $latex \mathscr H^1(\Omega)$. $latex \mathscr H^1(\Omega)$ is a Hilbert space with respect to $latex \mathcal E$. $latex H_0^1(\Omega)$ is a closed subspace of $latex \mathscr H^1(\Omega)$. Problem 4 Let $latex \Omega$ be a bounded $latex C^1$-domain in $latex \mat...

Notes on the Hilbert transform:  Chapter11.pdf Note that Chapter 9 was modified to consider averages over all balls containing a given point $latex x$, and not only those centered at $latex x$.

Due May 3 Problem 1 Let $latex \gamma$ be the lower semicircle of radius $latex N$ around the origin, and $latex \xi > 0.$ Then $latex \displaystyle \int_\gamma f(z) dz = 2\pi i\text{Res}_{z=-it} f(z) = i e^{-2\pi t\xi},$ where $latex f(z)$ is the function defined by $latex f(z) = \dfrac{1}{\pi} \dfrac{z}{z^2+t^2} e^{-2\pi iz\xi}.$ Problem 2 If $latex f\in L^1(\mathbb R)$ and diferentiable at $latex x\in\mathbb R$, then the limit $latex \displaystyle \lim_{t\to 0} \int_{|y|\ge t} \frac{f(x-y)}{y} dy$ exists. ( Hint:  Use the identity, for any $latex \delta_n>0$, $latex \displaystyle \int_{t\le|y|<\delta_n} \frac{f(x-y)}{y} dy = \int_{t\le|y|<\delta_n} \frac{f(x-y) - f(x)}{y} dy + \int_{t\le|y|<\delta_n} \frac{f(x)}{y} dy,$ and take $latex \delta_n\to 0$.) Problem 3 If $latex f_n, g_n$ are sequences in $latex C_c^\infty(\mathbb R)$ that converge in $latex L^1(\mathbb R)$ to $latex f$, then $latex Hf_n$ and $latex Hg_n$ converge in measu...

Notes on pointwise and uniform convergence of Fourier series of continuous functions:  Chapter05.pdf

Notes on the Hardy-Littlewood maximal functions and boundary limits of harmonic functions:  Chapter09.pdf Notes on the Fourier transform, the inversion formula and square means convergence:  Chapter10.pdf

Due April 12 Problem 1 For any $latex \xi\in\mathbb R$, $latex \displaystyle \lim_{N\to\infty} \int_{-N}^N e^{-\pi (x+i\xi)^2}dx = \lim_{N\to\infty} \int_{-N}^N e^{-\pi x^2}dx = 1.$ ( Hint:  Consider the contour integral $latex \int_\gamma e^{-\pi z^2} dz = 0$ over the rectangle $latex \gamma$ with vertices $latex N, N+i\xi, -N+i\xi$ and $latex -N$.) Problem 2 Let $latex u>0$. Then $latex \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-2\pi iuv}}{1 + v^2} dv = \frac{1}{\sqrt\pi} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt s} e^{-s} e^{-\pi^2 u^2/s} ds$; $latex \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-2\pi iuv}}{1 + v^2} dv = e^{-2\pi u}$. Problem 3 Prove the Riemann-Lebesgue Lemma : If $latex f\in L^1(\mathbb R^d)$, then $latex \hat f(\xi) \to 0$ as $latex |\xi|\to\infty$. Problem 4 If $latex \Phi(x) = e^{-\pi |x|^2}$, the collection $latex \{\Phi_t(x)\}_{t>0}$ if its dilations is a collection of better kernels. Problem 5 ...

Debido a que la hora de oficina para los estudiantes de cálculo tenía un conflicto con otra clase, las horas de oficina cambian de horario: la de Análisis Armónico será a las 4:00pm, cada miércoles.

Due April 5 Problem 1 The set $latex L^1(\mathbb R^d)$ of integrable functions is a complex vector space, and $latex f\mapsto \int f$ is a linear functional. $latex \displaystyle ||f||_1 = \int f$ is a norm on $latex L^1(\mathbb R^d)$, when $latex L^1(\mathbb R^d)$ is seen as a set of equivalence classes of $latex f\sim g$ if and only if $latex f=g$ a.e. Problem 2 Let $latex L^2(\mathbb R^d)$ be the set of measurable functions $latex f$ such that $latex \displaystyle \int |f|^2 < \infty$, seen as a set of equivalence classes of $latex f\sim g$ if and only if $latex f=g$ a.e. $latex L^2(\mathbb R^d)$ is a complex vector space. The bilinear form $latex \displaystyle \langle f, g \rangle = \int f \bar g$ is well defined on $latex L^2(\mathbb R^d)$ and is an inner product. $latex L^2(\mathbb R^d)$ is complete with the norm $latex \displaystyle ||f||_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle}.$ ( Hint:  Proceed as in the case of $latex L^1$ seen in class.) Problem 3 If...

Due March 29 Problem 1 $latex A\subset\mathbb R^d$ is measurable if and only if, for all $latex B\subset\mathbb R^d$,  $latex |B|_* = |B\cap A|_* + |B\setminus A|_*$. Problem 2 Let $latex A\subset\mathbb R^d$. The following are equivalent. $latex A$ is measurable. $latex A = P\setminus M$, where $latex P$ is a $latex G_\delta$ set and $latex |M|=0$. $latex A = Q\cup N$, where $latex Q$ is an $latex F_\sigma$ set and $latex |N|=0$. Problem 3 Let $latex A\subset\mathbb R^d$ be a measurable set. For $latex \delta > 0$, let $latex \delta A = \{ \delta x: x\in A\}$. Then $latex \delta A$ ls measurable and $latex |\delta A| = \delta^d |A|$. For a $latex d$-tuple $latex \bar{\delta} = (\delta_1, \ldots, \delta_d)$ with each $latex \delta_j>0$, $latex j=1,\ldots,d$, define $latex \bar\delta A = \{(\delta_1 x_1, \ldots, \delta_d x_d): (x_1, \ldots, x_d)\in A\}$. Then $latex \bar\delta A$ is measurable and $latex |\bar\delta A| = \delta_1\cdots\delta_d |A|...

Notes on the Poisson kernel for the upper half-space:  Chapter07.pdf Recall that you can find the bibliography in the link:  Bibliography.pdf

Due March 22 Problem 1 For any dimension $latex d\ge 1$, $latex \displaystyle \int_{\mathbb R^d} \frac{dx}{(|x|^2 + 1)^{(d+1)/2}} = \frac{\pi^{(d+1)/2}}{\Gamma((d+1)/2)},$ and verify that $latex \displaystyle \int_{\mathbb R^d} P_t(x) dx = 1.$ ( Hint:  Use spherical coordinates and the identity $latex \displaystyle \int_0^\infty t^\alpha e^{-ts} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(\alpha)}{s^\alpha}$ for any $latex \alpha, s>0$. Problem 2 Let $latex f$ be integrable on $latex \mathbb R^d$. For any $latex h\in\mathbb R^d$, $latex \displaystyle \int_{\mathbb R^d} f(x) dx = \int_{\mathbb R^d} f(x - h) dx.$ For any $latex r>0$, $latex \displaystyle \int_{\mathbb R^d} f(x) dx = \frac{1}{r^d} \int_{\mathbb R^d} f\big( \frac{x}{r}\big) dx.$ Problem 3 If $latex f\in C_0(\mathbb R^d)$, then $latex u(x,t) \to f(x)$ as $latex t\to 0$, uniformly in $latex x\in\mathbb R^d$. Problem 4 Let $latex f\in C_c(\mathbb R^d)$. Then $latex \disp...

Notes on spherical harmonics:  Chapter06.pdf These notes don't include the bibliography, as the previous chapters had. Rather, I have prepared a link for the bibliography of the course here:  Bibliography.pdf . This link is included in the course webpage , listed as Extended bibliography .

Due March 15 Problem 1 A polynomial $latex p\in\mathcal P_k$ if and only if $latex \displaystyle \sum_{j=1}^d x_j \frac{\partial p}{\partial x_j} = k p.$ In fact, if $latex f$ is a differentiable function on $latex \mathbb R^d$ that is homogeneous of degree $latex \kappa\in\mathbb R$, i. e. , $latex f(tx) = t^\kappa f(x)$ for any $latex t>0$ and $latex x\in\mathbb R^d$, then $latex \displaystyle \sum_{j=1}^d x_j \frac{\partial f}{\partial x_j} = \kappa f.$ Problem 2 If $latex p\in\mathcal H_k$, then $latex \dfrac{p(x)}{|x|^{2k+d-2}}$ is harmonic in $latex \mathbb R^d\setminus\{0\}.$ Problem 3 If $latex R$ is any rotation on $latex \mathbb R^d$, then $latex Z_k^{R\zeta}(R\xi) = Z_k^\zeta(\xi).$ Problem 4 Use Parseval's identity to verify $latex ||Z_k^\zeta||^2 = d_k/\omega_d$. Use Cauchy-Schwarz inequality to verify $latex ||Z_k^\zeta||_u = d_k/\omega_d$. Problem 5 The Gegenbauer polynomials $latex C_k^{\alpha}(t)$ are defined ...

As stated in the syllabus, 50% of the midterms grades consist of a written essay of a short research project. The projects may be worked by a student alone or in pair and, for the first midterm, the essay must be turn in by March 29. Each enrolled student or pair of student must choose a different project. Unenrolled students sitting in the course may work on a project, and are free to choose independently of other students, but cannot work with enrolled students. The following is the list of projects to choose from. This list is not yet complete, and new projects will be added in the following days, depending on the student choices. Littlewood's Theorem Karla Paulette Flores Silva and Jaime Daniel Hernández Palacios Sharpness of Bernstein's Theorem Yair Antonio Castillo Castillo and Rafael Morales Jiménez Uniform convergence of Fourier series of Hölder continuous functions Bernardo Ameneyro Rodríguez and José Gabriel Rosales Castañeda

Notes on Fourier series and square means convergence:  Chapter04.pdf

As noted in class, we gave Fejér's original proof of his theorem on the Cesàro summability of a Fourier series of a continuous function (except for the fact the he assumed the function to be even and, thus, its Fourier series contains only cosines). Fejér's theorem was published in Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances de l’Academie de Sciences, Paris 131 (1900), and you can find the paper here:   Sur les fonctions bornées et intégrables .

Due March 8 Problem 1 If $latex \sum a_n$ converges to $latex s$, then it is Abel-summable to $latex s$. If $latex \sum a_n$ is Cesàro-summable to $latex s$, then is it Abel-summable to $latex s$. Problem 2 (Tauber's theorem) If $latex \sum a_n$ is Abel-summable to $latex s$ and $latex na_n \to 0$, then $latex \sum a_n$ coverges to $latex s$. Problem 3 Suppose $latex f$ has left and right limits at $latex \theta_0$, say $latex \displaystyle \lim_{\theta\to\theta_0^-}f(\theta) = f(\theta_0-) \qquad \text{and}\qquad \lim_{\theta\to\theta_0^+}f(\theta) = f(\theta_0+),$ then  $latex \displaystyle \sigma_N(\theta_0) \to \frac{f(\theta_0-) + f(\theta_0+)}{2},$ where $latex \sigma_N(\theta)$ are the Cesàro sums of its Fourier series. Problem 4 (Bernstein's theorem) If $latex f\in C^\alpha(\mathbb S)$, for some $latex \alpha > 1/2$, then $latex \sum |\hat{f}(n)| < \infty$. $latex f\in C^\alpha(\mathbb S)$ means that $latex f$ is Holder continuous ...

Due March 1 Problem 1 If the sequences $latex a_n$ and $latex b_n$ are bounded, then  $latex \displaystyle u(r,\theta) = \sum_{n=0}^\infty r^n (a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta))$ is harmonic in $latex \mathbb D$. Problem 2 For $latex m,n\in\mathbb Z$, $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} e^{im\theta}e^{-in\theta} d\theta = \begin{cases} 2\pi & m=n\\0 & m\not=n.\end{cases}$ Problem 3 The series $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \sin n\theta$ converges for each $latex \theta$. Problem 4 If $latex f$ is Riemann integrable and periodic with period $latex T$, then $latex \displaystyle \int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$ for any $latex a\in\mathbb R$. Problem 5 Let $latex g$ be the periodic function given in $latex [-\pi,\pi)$ by $latex g(\theta) = |\theta|$. For each $latex n\in\mathbb Z$, $latex \displaystyle \hat g(n) = \begin{cases}\dfrac{\pi}{2} & n=0\\0 & \text{even } n\not=0\\- \dfra...

Notes on the Poisson kernel and the Poisson integral:  Chapter 3 .

Due February 22 Problem 1: Symmetry Lemma If $latex x\in\mathbb B$ and $latex \xi\in\mathbb S$, then $latex \displaystyle \Big| |x|\xi - \frac{x}{|x|} \Big| = |x - \xi|.$ Problem 2: Hopf Lemma If $latex u$ is a nonconstant harmonic function in $latex \mathbb B$, is continuous on $latex \bar{\mathbb B}$, and attains its maximum at $latex \zeta\in\mathbb S$, then there exists $latex c > 0$ such that $latex u(\zeta) - u(r\zeta) > c (1 - r)$ for any $latex 0 < r < 1$. Problem 3 If $latex u$ is harmonic in $latex \Omega$ and $latex \bar B_r(x_0)\subset\Omega$, then the values of $latex u$ in $latex B_r(x_0)$ are determined by its values on $latex S_r(x_0)$. Problem 4 Let $latex u_n$ be a sequence of harmonic functions in $latex \Omega$ such that $latex u_n\rightrightarrows u$ on any compact $latex K\subset\Omega$. Then $latex u$ is harmonic in $latex \Omega$. Problem 5 Let $latex u$ be harmonic ...

Notes on basic properties of harmonic functions:  Chapter02.pdf

Due February 15 Problem 1 Suppose $latex u$ is harmonic in a neighborhood of $latex \bar\Omega$, where $latex \Omega$ is a $latex C^1$ domain. Then $latex \displaystyle \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u \, d\sigma = 0$. Problem 2 If $latex \Omega\subset\mathbb R^d$ is a bounded domain and $latex u$ is harmonic in $latex \Omega$ and continuous on $latex \bar\Omega$, then $latex u$ takes its maximum and its minimum on $latex \partial\Omega$. Problem 3 Let $latex \Omega\subset\mathbb R^d$ be a bounded domain, $latex u$ and $latex v$ harmonic in $latex \Omega$ and continuous on $latex \bar\Omega$. If $latex u=v$ on $latex \partial\Omega$, then $latex u=v$ in $latex \Omega$. Problem 4 If $latex f$ is an entire function and its real part is nonnegative, then $latex f$ is constant. Problem 5 If $latex u$ is a radial harmonic function in $latex \mathbb B$, then it is constant.

You can download the notes from Week 1 here:  Motivation and preliminaires

Las tareas de la clase de Cálculo 2 serán publicadas en el portal de Classroom. Para ingresar es necesario utilizar la cuenta universitaria.

Due February 8 Problem 1 Let $latex (r,\theta)$ be the polar coordinates of the plane. Then  $latex \displaystyle \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2}.$ Problem 2 Let $latex u$ be a harmonic function in $latex \mathbb R^2$. Then there exists a conjugate harmonic function $latex v$ to $latex u$. ( Hint: Consider a line integral of the 1-form $latex - \dfrac{\partial u}{\partial y} dx + \dfrac{\partial u}{\partial x} dy$.) If $latex v_1$ and $latex v_2$ are conjugate to $latex u$ in the plane, then $latex v_1 - v_2$ is constant. Problem 3 If 0 is conjugate to $latex u$ in the plane, then $latex u$ is constant. If $latex f$ is holomorphic in $latex \mathbb C$ and real valued, then $latex f$ is constant. Problem 4 Let $latex \Gamma(s)$ be the gamma function. Integrate by parts to verify the identity $latex \Ga...