Tarea 15, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 22 de noviembre

Problema 1

Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex [a,b]$ tales que $latex f', g'$ son integrables. Muestra que $latex f'g, fg'$ son integrables y

$latex \displaystyle \int f'g = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int g'f.$

Problema 2

Sea $latex f$ integrable en $latex [a,b]$ tal que $latex 1/f$ es acotada. Muestra que $latex 1/f$ es integrable en $latex [a,b]$.

Problema 3

Sea $latex f$ continua en $latex [0,1]$ y, para cada $latex n$, define en $latex [0,1]$ la función $latex g_n(x) = f(x^n)$. Muestra que

$latex \displaystyle \int g_n \to f(0).$

Problema 4

Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{3\sqrt 2} \le \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx \le \frac{1}{3}$.

Problema 5

Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$ y $latex M$ su valor absoluto máximo. Muestra que

$latex \displaystyle \Big( \int |f|^n \Big)^{1/n} \to M$.