Tarea 16, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 29 de noviembre

Problema 1

Sean $latex f, g$ continuas en $latex [a,b]$ tales que $latex \displaystyle \int_a^b f = \int_a^b g$. Muestra que existe $latex c\in[a,b]$ tal que $latex f(c) = g(c)$.

Problema 2

Sea $latex \phi:[a,b]\to[c,d]$ diferenciable, inyectiva y creciente, tal que $latex \phi(a) = c$ y $latex \phi(b) = d$. Si $latex f$ es integrable en $latex [c,d]$, entonces $latex (f\circ\phi)\phi'$ es integrable en $latex [a,b]$ y 

$latex \displaystyle \int_c^d f(x) dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t) dt$.

Problema 3

Sean $latex f,g$ integrables en $latex [a,b]$.

1. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b fg \Big)^2 \le \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2$.
2. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b (f+g)^2 \Big)^{1/2} \le \Big( \int_a^b f^2 \Big)^{1/2} + \Big( \int_a^b g^2 \Big)^{1/2}$

Problema 4

Sea $latex f$ periódica en $latex \mathbb R$, con periodo $latex T$, e integrable en $latex [0,T]$. Entonces, para cualquier $latex a\in\mathbb R$, $latex f$ es integrable en $latex [a,a+T]$ y

$latex \displaystyle \int_a^{a+T} f = \int_0^T f$.

Problema 5

1. Muestra que existe una constante $latex C$ tal que, para cada $latex n\in\mathbb N$, $latex \displaystyle \int_0^{\pi/(2n+1)} \frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}dt < 2\pi$.
2. Concluye que existe $latex C'$ tal que, para $latex 0 \le \eta < \delta \le \pi/2$, $latex \displaystyle \Big|\int_\eta^\delta \frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}dt\Big| < 3\pi$.

Es posible tomar $latex C=2\pi, C'=3\pi$.