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Tarea 4: Introducción al análisis


Fecha de entrega: 6 de septiembre


Problema 1

Muestra que si $latex f$ es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$ y
$latex \displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}f'(x)$.
(Sugerencia: Utiliza el teorema del valor medio en el intervalo de $latex x_0$ a $latex x$, para cada $latex x$.)

Problema 2

Si $latex f$  y $latex g$ son diferenciables en $latex a$, encuentra
  1. $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$
  2. $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{x-a}$

Problema 3

Sea $latex f$ diferenciable en $latex 0$, $latex f(0) = 0$, y $latex k\in\mathbb Z_+$. Encuentra, si existe, el valor de
$latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\Big( f(x) + f\Big(\frac{x}{2}\Big) + f\Big(\frac{x}{3}\Big) + \ldots + f\Big(\frac{x}{k}\Big)\Big).$

Problema 4

Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que convergen a $latex x_0$ tales que $latex x_n < x_0 < y_n$, para cada $latex n\ge 1$. Muestra que
$latex \displaystyle f'(x_0) = \lim \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$.

Problema 5

Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que convergen a $latex x_0$ tales que $latex x_n\not= x_0$, $latex y_n\not= x_0$ y $latex x_n\not= y_n$, para cada $latex n\ge 1$. Da un ejemplo donde
$latex \displaystyle \lim \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$
  1. no existe;
  2. existe pero es diferente a $latex f'(x_0)$.

Comentarios

  1. ¿En el problema 3, x/3, x/4,... x/k van sin la f?

    O también van como f(x/3)+...+f(x/k)?

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