Tarea 4: Introducción al análisis

---

Fecha de entrega: 6 de septiembre

---

Problema 1

Muestra que si $latex f$ es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$ y

$latex \displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}f'(x)$.

(Sugerencia: Utiliza el teorema del valor medio en el intervalo de $latex x_0$ a $latex x$, para cada $latex x$.)

---

Problema 2

Si $latex f$  y $latex g$ son diferenciables en $latex a$, encuentra

1. $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$
2. $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{x-a}$

---

Problema 3

Sea $latex f$ diferenciable en $latex 0$, $latex f(0) = 0$, y $latex k\in\mathbb Z_+$. Encuentra, si existe, el valor de

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\Big( f(x) + f\Big(\frac{x}{2}\Big) + f\Big(\frac{x}{3}\Big) + \ldots + f\Big(\frac{x}{k}\Big)\Big).$

---

Problema 4

Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que convergen a $latex x_0$ tales que $latex x_n < x_0 < y_n$, para cada $latex n\ge 1$. Muestra que

$latex \displaystyle f'(x_0) = \lim \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$.

---

Problema 5

Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que convergen a $latex x_0$ tales que $latex x_n\not= x_0$, $latex y_n\not= x_0$ y $latex x_n\not= y_n$, para cada $latex n\ge 1$. Da un ejemplo donde

$latex \displaystyle \lim \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$

1. no existe;
2. existe pero es diferente a $latex f'(x_0)$.

---