Tarea 13: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 8 de noviembre

Problema 1

Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ definida en $latex [-\pi,\pi]$ como $latex F(x) = x, x\in(-\pi, \pi)$, $latex F(\pm\pi)=0$.

Averiguar si la serie converge en cada $latex x$. ¿Converge uniformemente?

Problema 2

Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ dada por $latex F(x) = x(x+\pi), x\in[-\pi,0]$, y $latex F(x) = x(\pi-x), x\in[0,\pi]$.

De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas.

Problema 3

Muestra las siguientes identidades, para $latex k,n\in\mathbb Z_+$.

$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \cos n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$

$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin k x \sin n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$

$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \sin n x dx = 0$

Problema 4

Considera la función $latex f(x) = \sin\dfrac{1}{x}, x\not=0$.

1. Indica si $latex f$ es uniformemente continua en $latex (0,1)$.
2. Indica si $latex f$ es uniformemente continua en $latex (1,\infty)$.

Problema 5

1. Muestra que si $latex f$ es diferenciable y su derivada es acotada en $latex (a,b)$, entonces $latex f$ es uniformemente continua en $latex (a,b)$.
2. Da un ejemplo de una función uniformemente continua y diferenciable en $latex (a,b)$, tal que su derivada no es acotada en $latex (a,b)$.