Tarea 14: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 15 de noviembre

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Problema 1

Muestra de manera directa que, si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces $L(f) = U(f)$.

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Problema 2

Muestra que, si $f$ es acotada y continua en $[a,b]$ excepto en un punto $x_0\in[a,b]$, entonces $L(f) = U(f)$.

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Problema 3

Considera la función $f(x) = x$ en $[a,b]$. Muestra que, para cualquier partición $\mathcal P$, 

$L(f,\mathcal P) \le \dfrac{b^2-a^2}{2} \le U(f,\mathcal P)$.

Concluye que $\displaystyle \int f = \frac{b^2-a^2}{2}$.

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Problema 4

Sea $f$ integrable en $[0,1]$. Muestra que $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n}\Big) \to \int f.$

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Problema 5

Sea $f$ integrable en $[-a,a]$.

1. Si $f$ es impar, muestra que $\displaystyle  \int_{-a}^a f = 0$.
2. Si $f$ es par, muestra que $\displaystyle  \int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.

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