Tarea 10: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 18 de octubre

Problema 1

Encuentra el conjunto donde las siguientes series de funciones convergen.

1. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{2+(-1)^n}{5+(-1)^{n+1}}\Big)^n x^n$
2. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^{n^2}x^{n!}$
3. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\Big(\frac{2x+1}{x}\Big)^n$
4. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt n (\tan x)^n$

Problema 2

Encuentra el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_nx^n$ en cada uno de los siguientes casos.

1. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n n^\alpha| \to L$.
2. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n \alpha^n| \to L$.
3. Existe $latex L>0$ tal que $latex |a_n n!| \to L$.

Problema 3

Sea $latex a_n$ una sucesión de números positivos. Muestra que

$latex \displaystyle \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Problema 4

1. Explica por qué la serie
   
   $latex \displaystyle x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6}+\ldots$
   no es una serie hipergeométrica.
2. Muestra que la serie anterior es la diferencia de dos series hipergeométricas.

Problema 5

Muestra que la serie 

$latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sin(k/100)}{\log k}$

converge.