Tarea 9: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 11 de octubre

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Problema 1

Encuentra una serie divergente tal que los valores del primer millón de las sumas parciales $latex s_1, s_2, \ldots, s_{1,000,000}$ coinciden en los primeros 10 dígitos significativos.

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Problema 2

1. Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para mostrar que toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente.
2. Si $latex x_n$ es una sucesión de Cauchy y $latex x_{n_k}$ es una subsucesión tal que $latex x_{n_k}\to L$, muestra que $latex x_n\to L$.
3. Concluye que el teorema de Bolzano-Weierstrass es equivalente a las versiones del axioma de completitud vistas en clase.

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Problema 3

Es sabido que los números de Bernoulli satisfacen la estimación

$latex B_{2k} \sim (-1)^{k-1}\dfrac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$

(ver, por ejemplo, [Weisstein, (41)]). Utiliza la estimación anterior para mostrar que la serie

$latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k-1)(2k)n^{2k-1}}$

vista en clase diverge para todo $latex n$.

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Problema 4

Sea $latex \sum a_n$ una serie de términos distintos de cero.

1. Si existen $latex \alpha$ y $latex N$ tales que $latex n\ge N$ implica $latex \Big| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \Big| \le \alpha$, muestra que para todo $latex \varepsilon>0$ existe $latex K$ tal que $latex \sqrt[n]{|a_n|} < \alpha + \varepsilon$ para todo $latex n\ge K$.
2. Muestra que no necesariamente tenemos $latex \sqrt[n]{|a_n|}\le \alpha$.
3. Concluye que si el criterio del cociente nos dice que una serie converge absolutamente, entonces el criterio de la raíz nos dice lo mismo.
4. Muestra que si existen $latex \beta$ y $latex N$ tales que $latex \Big| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big| \ge \beta$ para todo $latex n\ge N$, entonces para todo $latex \varepsilon>0$ existe $latex K$ tal que $latex n\ge K$ implica $latex \sqrt[n]{|a_n|} > \beta - \varepsilon$.

(Sugerencia: utiliza el hecho que $latex \sqrt[n]{A}\to1$ para todo $latex A>0$.)

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Problema 5

1. Utiliza los resultados anteriores para mostrar que, si $latex \Big| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|$ tiene límite, entonces
   
   $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|$.
2. Encuentra una serie de números positivos para la cual el criterio de la raíz nos dice que diverge, pero el criterio del cociente no es concluyente.
3. Explica por qué el inciso 2 no contradice al inciso 1.

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