Tarea 1: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 16 de agosto

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Problema 1

Considera la serie de Fourier vista en clase

$latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$

1. ¿A qué valor se acerca esta serie cuando x se acerca a 1 por la izquierda?
2. ¿A qué valor se acerca esta serie cuando x se acerca a 1 por la derecha?
3. ¿Cuál es el valor de esta serie si x=1?

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Problema 2

Considera la serie que obtenemos si diferenciamos término a término la serie anterior:

$latex \displaystyle -2\Big( \sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2} + \sin\frac{5\pi x}{2} - \sin\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$.

1. Grafica las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos. ¿Te parece que estas gráficas se acerquen a la función 0?
2. Evalúa las sumas parciales con hasta 20 términos para los siguientes valores de x: 0, 0.2, 0.3, 0.5, 1. ¿Te parece que estas sumas se acercan a 0?
3. ¿Qué ocurre en cada uno de esos valores de x? ¿Qué puedes demostrar?

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Problema 3

1. Muestra que un triángulo con vértices $latex (a_1, b_1), (a_2, b_2)$ y $latex (a_3, b_3)$ tiene área
   
   $latex \dfrac{1}{2} | (a_2 - a_1)(b_3 - b_1) - (a_3 - a_1)(b_2 - b_1) |.$
2. Muestra que el área del triángulo con vértices $latex (a,a^2), (a+\delta, (a + \delta)^2)$ y $latex (a+2\delta, (a+2\delta)^2)$ es $latex \delta^3$, para cada $latex \delta > 0$.
3. Usa los resultados anteriores para mostrar que el área del polígono visto en clase inscrito en la parábola, con vértices en los puntos $latex (-1 + k\cdot 2^{-n}, 1 - (-1 + k\cdot 2^{-n})^2)$, $latex k=0,1,2,\ldots, 2^{n+1}$, tiene área
   
   $latex 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots + \dfrac{1}{4^n}$.

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Problema 4

1. Calcula las primeras $latex 2n$ sumas parciales de la serie alternante $latex 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} - \ldots$ para diversos valores de n. Verifica que estas sumas se acercan al valor de $latex \log 2$.
2. Encuentra el valor, numéricamente, al que se acercan las sumas parciales de la serie alternante cuando sumas dos términos positivos por cada negativo, es decir,
   
   $latex 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{4} + \ldots$.
3. Encuentra el valor, numéricamente, al que se acercan las sumas parciales de la serie alternante cuando sumas un término positivo por cada dos negativos, es decir,
   
   $latex 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{5} + \ldots$.
4. Conjetura el valor exacto de las sumas anteriores, y demuestra tu conjetura.

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Problema 5

Si diferenciamos cada término de la serie geométrica y su límite, obtenemos

$latex 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1 - x)^2}$.

Discute la veracidad del enunciado anterior. ¿Converge la serie de la izquierda? ¿Cuál es la diferencia entre las sumas parciales de la serie y el lado derecho? ¿Esta diferencia tiende a 0? ¿Para qué valores de $latex x$?