Tarea 5: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 13 de septiembre

Problema 1

Muestra los siguientes enunciados, utilizados en las demostraciones vistas en clase.

1. Si $latex a_n < c < b_n$, $latex a_n\to L$ y $latex b_n\to M$, entonces $latex L \le c \le M$.
2. Si $latex f$ es monótona en cada subintervalo $latex (x_{i-1},x_i)$, $latex i=1,2,\ldots,n$, de la partición $latex a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ del intervalo $latex [a,b]$, entonces es continua en cada $latex x_i$, $latex i = 1, 2, \ldots, n-1$.
3. Si $latex a\not=0$ y $latex |a-b|<|a|$, entonces $latex a$ y $latex b$ tienen el mismo signo.

Problema 2

Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua en todo punto. Muestra que $latex f$ tiene un punto fijo, es decir, existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$.

Problema 3

Muestra que la función

$latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & x \text{ racional}\\0 & x \text{ irracional}\end{cases}$

es discontinua en todo punto.

Problema 4

Discute la continuidad de la función $latex f(x) = \lfloor x \rfloor \sin (\pi x)$.

Problema 5

1. Da un ejemplo de una función acotada en $latex [0,1]$, pero que no toma su valor ínfimo ni su supremo.
2. Da un ejemplo de una función diferenciable tal que $latex f'(1)=0$, pero que no toma un valor extremo en $latex x=1$.