Tarea 8: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 4 de octubre

Problema 1

1. Sea $latex f$ continua en $latex [0,2]$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,2]$ tales que
   
   $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) - f(b) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2}$.
2. Sea $latex f$ continua en $latex [0,n]$, donde $latex n\in\mathbb Z_+$, tal que $latex f(0) = f(n)$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,n]$ tales que
   
   $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) = f(b)$.

Problema 2

Sea $latex f$ diferenciable en $latex [a,b]$ tal que $latex f(a) = f(b) = 0$, $latex f'(a)>0$ y $latex  f'(b) > 0$. Muestra que existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex f(c) = 0$ y $latex f'(c) \le 0$.

Problema 3

Sea $latex f$ continua en $latex [a,\infty)$ con $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)$ finito. Muestra que $latex f$ es acotada en $latex [a,\infty)$.

Problema 4

Considera la función $latex f(x) = x^{1/x}$. 

1. Haz un bosquejo de su gráfica, e indica dónde parece alcanzar su máximo, si lo alcanza.
2. Utiliza la regla de L'Hospital para mostrar $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} \log(x^{1/x}) = 0$.
3. Concluye que $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^{1/x} = 1$.

Problema 5

Sean $latex f,g$ tales que tienen segundas derivadas continuas en $latex [0,1]$, $latex g'(x)\not=0$ para $latex x\in(0,1)$ y $latex f'(0)g''(0) - f''(0)g'(0)\not=0$. Sea $latex \theta$ una función en $latex (0,1)$ tal que, para cada $latex x\in(0,1)$, 

$latex \dfrac{f(x) - f(0)}{g(x)-g(0)} = \dfrac{f'(\theta(x))}{g'(\theta(x))}$.

O sea, $latex \theta(x)$ es uno de los "c" en la versión general del TVM en $latex [0,x]$. Muestra que

$latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\theta(x)}{x} = \frac{1}{2}$.