Tarea 11: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 25 de octubre

Problema 1

Considera la serie $latex \displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \ldots = \frac{\pi}{4}$. 

1. Muestra que la serie de términos positivos $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \ldots$ diverge.
2. Considera el reordenamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7} + \ldots = s$. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento
   
   $latex \displaystyle \Big(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\Big) + \Big(\frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7}\Big) + \ldots$
   para encontrar una cota inferior para el límite $latex s$ de la serie.
3. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento
   
   $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{13}\Big) - \Big(\frac{1}{7} - \frac{1}{17} - \frac{1}{21}\Big) - \ldots$
   para encontrar una cota superior para el límite $latex s$ de la serie.

Problema 2

Considera las siguientes dos formas de evaluar la serie $latex \displaystyle \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \ldots$:

• $latex \displaystyle \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \ldots = \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big) + \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\Big) + \Big(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\Big) + \ldots = \frac{1}{2}$
• $latex \displaystyle \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \ldots = \Big(1-\frac{5}{6}\Big) + \Big(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}\Big) + \Big(\frac{3}{4}-\frac{7}{10}\Big) + \ldots = 1$

¿Cuál de ellas, si alguna, es correcta? Justifica tu respuesta.

Problema 3

1. Encuentra dos series divergentes $latex \sum a_n$ y $latex \sum b_n$ tales que $latex \sum (a_n+b_n)$ converge.
2. ¿Es posible encontrar series $latex \sum a_n$ y $latex \sum b_n$ tales que $latex \sum a_n$ y  $latex \sum (a_n+b_n)$ convergen, pero $latex \sum b_n$ diverge?

Problema 4

Grafica las 3ra, 6ta, 9na y 12da sumas parciales de la serie

$latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty x^2(1-x^2)^{n-1}$,

para $latex x\in[-1,1]$. ¿Converge uniformemente?

Problema 5

Considera la serie de Taylor de seno,

$latex \displaystyle \sin x = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$.

1. Muestra que la serie converge uniformemente en $latex [-\pi,\pi]$?
2. ¿Converge uniformemente en $latex [-2\pi, 2\pi]$?
3. ¿Converge uniformemente en $latex \mathbb R$?