Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Considera las funciones en $[0,1]$ dadas por $f(x) = \begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\not\in\Q\end{cases}\qquad$ y $\quad g(x) = \begin{cases}1/q&x=p/q\in\Q, \text{mcd}(p,q)=1\\0&x\not\in\Q.\end{cases}$ Muestra que  f no es Riemann-integrable, y que  g sí lo es. Problema 2 Da un ejemplo de dos funciones $f:[a,b]\to[-M,M]$ y $g:[-M,M]\to\R$ Riemann-integrables tales que $g\circ f$ no lo es. Problema 3 Encuentra los siguientes límites. ( Sugerencia: utiliza sumas de Riemann de funciones apropiadas.) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n} + e^{2/n} + \ldots+e^{n/n})$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{k+1}}(1^k + 2^k + \ldots + n^k)$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\frac{1}{n^3+1^3} + \frac{1}{n^3+2^3} + \ldots + \frac{1}{n^3+n^3}\Big)$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}$ Problema 4 Sea $latex...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Utiliza la definición de la integral de Cauchy para mostrar que $\displaystyle \int_a^b x dx = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 2 Considera la función $f(x) = \sen(1/x), \quad f(0)=0$. Calcula la suma $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{f((i-1)/n)}{n}$ para diversos valores de  n . ¿Qué observas? ¿Parece que converge? Determina si $f(x)$ es Cauchy-integrable en $[0,1]$. Problema 3 Sean $f, g$ Cauchy-integrables. Muestra que $f + g$ es también Cauchy-integrable. Encuentra un ejemplo de funciones Cauchy-integrables tales que su producto no es Cauchy-integrable. Problema 4 Muestra que, si  f es Riemann-integrable, entonces es Cauchy-integrable. Muestra, con un ejemplo, que la inversa es falsa.  

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Muestra que $\displaystyle \int_0^{\pi/(2n+1)} \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy < \pi$. Problema 2 Utiliza el problema anterior para mostrar que, si $0\le a < b\le \pi/2$, entonces $\displaystyle \bigg| \int_a^b \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy \bigg| < \pi$. Problema 3 Calcula los coeficientes de Fourier de la función $\displaystyle F(x) = \begin{cases} 2x+1 & -\pi < x < 0\\(x-2)/3 & 0 < x < \pi.\end{cases}$ Evalúa algunas sumas parciales para $x=0$ y $x=\pi$. Describe tus observaciones, e indica si parece que convergen al valor esperado. Problema 4 Calcula los coeficientes de Fourier de la función periódica $F(x)$, con periodo $2\pi$, y que es igual a $x^2-\pi^2$ para $x\in(\pi, 3\pi)$. ¿A qué converge la serie en $x=-\pi$? ¿En $x=0$? Evalúa algunas sumas parciales en estos puntos.

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Hemos visto en clase que, si $\sum a_k$ y $\sum b_k$ convergen, entonces la serie $\sum(a_k+b_k)$ converge. Sin embargo, es posible que $\sum(a_k+b_k)$ converja mientras que $\sum a_k$ y $\sum b_k$ no lo hacen. Discute si es posible que una serie trigonométrica $\displaystyle a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sen kx)$ converja, y que las series de cosenos y senos $\displaystyle a_0 +  \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx, \qquad \sum_{k=1}^\infty b_k \sen kx$ no lo hagan. Problema 2 Sean $f,g$ funciones uniformemente continuas. Indica si $f+g$ y $fg$ son uniformemente continuas. En tal caso, demuéstralo, o, si no, da un contraejemplo. Problema 3 Sea $f:(a,b)\to\R$ uniformemente continua. Demuestra que tiene límites en  a y en  b . Problema 4 Encuentra un valor de $\zeta$ para el cual $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} t \sen t dt = 2\pi \int_\zeta^{2\pi} \sen t ...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Indica si las siguientes series son convergentes en cada punto o uniformemente convergentes en el conjunto A  dado. $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty n^2x^2e^{-n^2|x|}, \qquad A=\R$ $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{\sqrt k}(x^k + x^{-k}),\qquad A=[1/2,2]$ $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\log(1+kx)}{kx^k}, \qquad A=[2,\infty)$ Problema 2 Sea $\sum a_kx^k$ una serie de potencias con radio de convergencia  R . Muestra que, si la serie de derivadas $\sum ka_kx^{k-1}$ converge en $x=R$, entonces la serie converge en $x=R$. Problema 3 Termina la demostración del teorema visto en clase:  Si $\sum f_k$ converge uniformemente en $(a,b)$ y las funciones $f_k$ son continuas en $[a,b]$, entonces la serie converge uniformemente en $[a,b]$. Problema 4 Muestra que $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k}$ es discontinua en $x=0$ mostrando...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales $\displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^2}{(1 + kx^2)(1+(k-1)x^2)}$. Calcula $S_n(x)$ para $x=1/10, 1/100, 1/1000$. Averigua cuántos términos debes sumar para que $S_n(x)$ se encuentre a menos de $\e=0{.}01$ de $S(x)=1$. Repite los incisos anteriores para las sumas (con $S(x)=0$) $\displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x+x^3(k-k^2)}{(1+k^2x^2)(1+(k-1)^2x^2)}$. Problema 2 Considera la serie de seno $\displaystyle \sen x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$ Muestra que la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\pi,\pi]$. Indica cuántos términos de la serie hay que sumar para estar a $\e=1/2, 1/10, 1/100$ del límite en este intervalo. Repite los incisos anteriores para el intervalo $[-2\pi, 2\pi]$. ¿La serie converge uniformemente para todo $\R$? Problema 3 Da un ejemplo de una serie...

Fecha de entrega: 14 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales de la serie de Fourier, $\displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\cos\frac{(2k-1)\pi x}{2}.$ Grafica los valores de $S_n(x)$ para $1\le n\le 200$, con $x=1/2, 2/3, 9/10, 99/100.$ Dado $\e=0{.}1$, calcula el  N necesario para garantizar que $|S_n(x) - S_m(x)|<\e$ para cada uno de los  x del inciso anterior. Repite el inciso anterior con $\e=0{.}001$. Problema 2 Demuestra que la serie $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen (k/100)}{\log k}$ converge. Problema 3 Evalúa la serie $1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \ldots$ en dos formas distintas: primero, como serie geométrica de cociente $-1/3$; segundo, agrupando cada término positivo con el siguiente negativo. Problema 4 Evalúa la serie $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} - \...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Considera una serie $\sum a_n$ de términos distintos a cero. Sean $\alpha>0, N$ tales que, si $n\ge N$, entonces $|a_{n+1}/a_n|\le \alpha.$ Muestra que, para todo $\e>0$, existe  M tal que, si $n\ge M$, entonces $\sqrt[n]{|a_n|}<\alpha + \e$. Muestra que no necesariamente tenemos que $\sqrt[n]{|a_n|}\le \alpha$ para $n\ge N$. Muestra que, si el criterio del conciente nos dice que una serie converge absolutamente, entonces el criterio de la raíz también nos dirá lo mismo. Muestra que, si existen $\beta>0, N$ tales que $|a_{n+1}/a_n|\ge\beta$ para $n\ge N$, entonces para cada $\e>0$ existe  M tal que $\sqrt[n]{|a_n|}>\beta-\e$ para $n\ge M$. Muestra que, si $|a_{n+1}/a_n|$ converge, entonces $\sqrt[n]{|a_n|}$ converge y $\lim\sqrt[n]{|a_n|} = \lim\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|.$ Problema 2 Sea $latex \log_2 x =...

Esta semana no asignaré tarea, pero aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen del viernes. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud: equivalencia de principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo toda sucesión de Cauchy converge Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y ...

Fecha de entrega: 23 de septiembre Problema 1 Explica cuál es el problema con la siguiente aplicación de la regla de L'Hôpital. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sen(1/x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{2x\sen(1/x)-\cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 2 Utiliza la regla de L'Hôpital para mostrar que $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0.$ Demuestra por inducción que $\displaystyle\frac{e^{-1/x^2}}{x^n} = 0$ para todo $n\in\N$. Problema 3 Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular los siguientes límites, si existen. $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\arctan\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x-1}$ $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\Big(\Big(1 + \frac{1}{x}\Big)^x - e\Big)$ $\displaystyle \lim_{x\to5} (6-x)^{1/(x-5)}$ $\displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x}$ $\displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x^2}$ Problema 4 Muestra que $\dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{x}{2}$ es u...

Soluciones a problemas seleccionados de la Tarea 6 . Problema 2 5. El conjunto tiene como mínimo a 0 y como supremo el límite de la sucesión 0.1111..., o sea, 1/9. 6. Claramente el mínimo es 0, porque si  n es cuadrado entonces $\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor = 0$. El supremo es 1. Para mostrarlo, consideremos $n = N^2-1$. Entonces $\sqrt n = N\Big(1 - \dfrac{1}{N^2}\Big)^{1/2} > N\Big(1 - \dfrac{1}{2N^2}\Big) = N - \dfrac{1}{2N}$, y por lo tanto $\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor > N - \dfrac{1}{2N} - (N-1) = 1 - \dfrac{1}{2N}.$ Como  N es arbitrario, este número es tan cercano a 1 como se desee. 7. Como $(m-2n)^2\ge0$, tenemos que $m^2 + 4n^2 \ge 4mn$, y por lo tanto $\dfrac{m}{n} + \dfrac{4n}{m} = \dfrac{m^2 + 4n^2}{mn} \ge 4$, por lo que 4 es una cota mínima. Como tal número se alcanza con $m=2, n=1$, 4 es el ínfimo. Si $m=1$, entonces $\dfrac{m^2+4n^2}{mn} = \dfrac{1 + 4n^2}{n} > 4n$. Concluimos entonces que el conjun...

Fecha de entrega: 16 de septiembre Problema 1 Encuentra una función acotada $f:[0,1]\to\R$ que no toma su valor supremo o ínfimo. Encuentra una función diferenciable en 1 tal que $f'(1)=0$ y que no tenga un extremo en 1. Problema 2 Averigua si los siguientes conjuntos son acotados por debajo o por arriba, y encuentra el ínfimo y el supremo si es el caso: el intervalo (0,3) $\{1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots\}$ $\{1, 1+1/2, 1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8,\ldots\}$ $\{2/1, (2\cdot2)/(1\cdot3),(2\cdot 2\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3), (2\cdot 2\cdot 4\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5),\ldots\}$ el conjunto de números entre 0 y 1 con expansión decimal consistente de solo los dígitos 0 y 1 $\{\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor:n\in\N\}$ $\{m/n + 4n/m: m,n\in\Z_+\}$ $\{ mn/(4m^2+n^2): m,n\in\Z_+\}$ Problema 3 Muestra que el enunciado " todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene un supremo " implica el principio de intervalos en...

Fecha de entrega: 9 de septiembre Problema 1 Para la función $f(x) = x^2\sen(1/x^2)$ vista en clase, los puntos $x_0$ y números positivos $\e$ dados, encuentra $\delta$ tal que si $0<|x-x_0|<\delta$ entonces $\displaystyle \Big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\Big| < \e.$ $x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}1$ $x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}01$ $x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}01$ $x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}001$ Problema 2 Encuentra otra función que sea diferenciable en $[0,1]$, pero cuya derivada no es acotada. Problema 3 Encuentra una función que no sea continua en $[0,1]$, pero que sí satisfaga la propiedad del valor intermedio en ese intervalo. Problema 4 Sea $f:[0,1]\to[0,1]$ continua. Muestra que existe $c\in[0,1]$ tal que $f(c) = c$. Problema 5 Muestra que la ecuación $(1-x)\cos x = \sen x$ tiene al menos una solución en $(0,1)$. Problema 6 Sea  f con...

Fecha de entrega: 2 de septiembre Problema 1 Sea $f(x) = \sen x$. Encuentra el error $e(f,x,\pi/2)$ como función de  x . Encuentra un $\delta>0$ que sea suficiente para que $|e(f,x,\pi/2)|<\e$ para $\e = 0{.}1, 0{.}001, 10^{-100}$. ¿Cómo debemos seleccionar $\delta$ para $\e$ arbitrario dado? Problema 2 Muestra que si  f es continua en $x_0$ y $\lim_{x\to x_0} f'(x)$ existe, entonces  f es diferenciable en $x_0$ y $\lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$. Problema 3 Sean $f, g$ diferenciables en $x_0$. Encuentra $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{xf(x_0) - x_0f(x)}{x-x_0}$ $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x-x_0}$ Problema 4 Sea  f diferenciable en $p$ y $x_n, y_n$ sucesiones que convergen a $p$, tales que $x_n\not= p, y_n\not=p, x_n\not=y_n$, para todo  n . Da ejemplos para los cuales el cociente $latex \dfrac{f(x_n) - f(y_n)...

Fecha de entrega: 26 de agosto Problema 1 Identifica el problema del siguiente argumento: Dada una función  f , tenemos que $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx = \int_0^2 f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx.$ Si hacemos el cambio de variable $x=2y$ en la primer integral de la derecha, tenemos $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 2\int_0^1 f(2y) dy.$ Sea  f una función tal que $f(2x) = \frac{1}{2}f(x)$ para todo  x . Entonces $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx = 2\int_0^1 \frac{1}{2}f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx = 0.$ La función $f(x) = 1/x$ satisface que $f(2x) = f(x)/2$. Así $\int_1^2 dx/x = 0$ y, por lo tanto, $\log 2 = 0.$ Problema 2 Encuentra una función sencilla $\omega$, en términos de $\log$, tal que $\displaystyle \lim\Big( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} - \omega(n)\Big) = 0.$ Problema 3 Muestra la identidad de Bernoulli vista en clase integrando repetidamente por partes: $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt =...

Fecha de entrega: 19 de agosto Problema 1 Encuentra el límite de las siguientes series. Para cada una, encuentra  n tal que sus sumas parciales, a partir de la  n -ésima, están a distancia .001 del límite. $1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{27}{64} + \ldots$ $\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216} + \ldots$ $1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \ldots$ Problema 2 Demuestra la convergencia de la serie $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ para $|x|<1$, utilizando las ideas de Cauchy. Repite el problema anterior con las siguientes series. $1 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{9} - \dfrac{4}{27} + \ldots$ $2 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{27} + \dfrac{6}{81} - \dfrac{5}{243} + \ldots$ Problema 3 Demuestra la identidad de Machin $\dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$. Problema 4 ¿Cuántos terminos necesitas suma...

Fecha de entrega: 12 de agosto Problema 1 Grafica las superficies obtenidas por las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos de la serie $\displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( e^{-\frac{\pi y}{2}} \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} e^{-\frac{3\pi y}{2}}\cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}e^{-\frac{5\pi y}{2}}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}e^{-\frac{7\pi y}{2}}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$ para $x\in[-1,1], y\in[0,2]$. Problema 2 Considera la suma de Fourier vista en clase $\displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$ ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la izquierda? ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la derecha? ¿Cuál es el valor de esta serie si  x =1? Problema 3 Considera la suma que obtenemos si diferenciamos término a término la suma anterior: $latex \displaystyle ...

Fecha de entrega: 10 de junio Problema 1 Considera la red Calcula la resistencia efectiva entre los nodos  a y  b . Calcula la resistencia efectiva entre los nodos  a y  c . Calcula la resistencia efectiva entre los nodos  a y  d . Calcula la resistencia efectiva entre los nodos  b y  c . Calcula la red equivalente restringida a los nodos  a ,  b  y  c . Calcula la red equivalente restringida a los nodos  a ,  b y  d . Problema 2 Calcula los tamaños de los cuadrados de la siguiente cuadratura.   Problema 3 Dibuja la cuadratura descrita por la siguiente red, señalando los tamaños de los cuadrados.

Fecha de entrega: 3 de junio Problema 1 Calcula la resistencia total de la siguiente red. Problema 2 Calcula la resistencia total de la siguiente red. Problema 3 Calcula la matriz  H para cada una de las redes anteriores. Problema 4 Encuentra las matrices  H para las siguientes formas cuadráticas tales que $\mathcal E(v) = -(v,Hv)$. $(x,y)\mapsto x^2 - 2xy + 2y^2$ $(x,y)\mapsto xy$ $(x,y,z)\mapsto x^2+3xy - y^2 - 2z^2 + xz$ $(x,y,z)\mapsto x^2+y^2+z^2-3xy - xz - 4yz$ $(x,y,z)\mapsto x^2+2y^2+2z^2 - 6xy + 2xz + 6yz$ Problema 5 Averigua cuáles de las formas cuadráticas anteriores corresponden a formas de Dirichlet.  

Fecha de entrega: 27 de mayo Problema 1 Muestra que un código es  d-error-correcting si y solo si es  2d-error-detecting . Problema 2 Muestra que cualquier cadena de 0 y 1 de longitud 7 es ya sea una palabra en el código de Fano, o proviene de una única palabra del código de Fano cambiando un bit. Problema 3 Considera el código obtenido del plano proyectivo sobre $\mathbb F_3^2$, análogo al de Fano. ¿Qué tanta detección y corrección de errores posee? Problema 4 El siguiente texto fue encriptado con un algoritmo de sustitución simple (no fueron reemplazados los signos de puntuación). Descífralo. xgqykakuar, pgtkuar, mratkuar, qra yovq arwlovq tra dka wuprpkvayv. qka vwluonr pu nvayv evtvayv, yvwv wuq vp ppuwuoqv hvotgpuar. qvo ga mortgpr ju vq ga evqtuor, mgvq ar qupv evp tkotgpr utver. vp bgv qupv dvpks vq vzmver, mvor umvqyu u evwrakrq j u oujrq. qka vwluonr mu' hutvopr lrakyr, ga kwlvtkp qv mgqr vzmvekyr. ¡bgv evpktku, qvcro, ev tokuygou, huqyu va vqr qv iv qg dkagou! vq m...

Fecha de entrega: 20 de mayo Problema 1 Muestra que, en un diseño de bloques, la hipótesis que cada individuo pertenece al mismo número de bloques es superflua; es decir, se sigue del resto de las hipótesis. Problema 2 Encuentra cinco números $v, b, k, r, \lambda$ que satisfagan las ecuaciones vistas en clase, pero $b<v$. Para cada $v>1$, construye un diseño de bloques con $b=v$. Problema 3 Muestra que el plano de Fano es el único sistema de Steiner con $v=7$. Problema 4 Supón que un sistema de Steiner tiene un subconjunto  S  de $(v-1)/2$ individuos tales que forman un sistema de Steiner por sí mismos considerando los bloques que pertenecen a  S . Muestra que  S es una muestra representativa de clubes. Problema 5 Muestra que el plano de Fano y $\mathbb F_3^2$ pueden ser coloreados con 3 colores, tal que cada bloque usa al menos dos colores (aunque no necesariamente los tres de ellos). Problema 6 ¿Cuántos cuadrados latinos hay de $...

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1 Considera el plano de Fano  $\mathcal F$ visto en clase. Representa cada recta en el plano de Fano por un punto, y cada punto x  de $\mathcal F$ como una recta que contiene, como puntos, a las rectas en $\mathcal F$ que pasan por  x . Describe el espacio geométrico obtenido. Un conjunto de 3 puntos en $\mathcal F$ que no pertenecen a una recta es llamado un  círculo , y una  tangente al círculo es una recta que pasa por uno solo de sus puntos. Muestra que para cada punto de un círculo existe una única tangente que pasa por él. Un  hipercírculo es un conjunto de 4 puntos en $\mathcal F$ tal que no 3 de ellos pertenecen a una recta. Muestra que los 3 puntos afuera de un hipercírculo forman una recta, y viceversa. Describe la manera en que podemos rearreglar los puntos de $\mathcal F$ de tal forma que, digamos, el vértice superior de la representación vista en clase ocupa ahora el punto central. Problema...

Fecha de entrega: 6 de mayo Problema 1 Muestra que los siguientes grafos no son 3-coloreables. Problema 2 Considera  n  rectas genéricas en el plano, y considera el grafo formado por sus puntos de intersección y los segmentos de recta entre ellos. Muestra que este grafo es 3-coloreable. Problema 3 Muestra el corolario visto en clase:  si G es un grafo tal que cada subgrafo de G tiene al menos un vértice de grado d, entonces G es (d+1)-coloreable. Problema 4 Sea  G el grafo cuyos vértices corresponden a las aristas de $K_5$, y en el cual son adyancentes si dichas aristas tienen un vértice en común. Calcula el número cromático de  G .  Problema 5 Muestra que las regiones formadas por rectas en el plano son 2-coloreables. Muestra que las regiones formadas por una curva cerrada en el plano (que se interseca a sí misma) son 2-coloreables. Problema 6 Da un ejemplo de un mapa, con países no necesarimente conexos, que no sea 100-colorables. Problema 7 Si cada cara de un mapa plana...

Fecha de entrega: 29 de abril Problema 1 Dadas al menos 3 rectas genéricas en el plano, muestra que entre las regiones en que dividen al plano se encuentra al menos un triángulo. Problema 2 ¿En cuántas regiones dividen al plano dos  n -ágonos convexos? Problema 3 ¿Cuál es el mínimo y el máximo número de regiones en que dividen al plano  n círculos? Problema 4 Muestra que 6 puntos genéricos en el plano forman al menos 3 cuadriláteros convexos. Encuentra 8 puntos genéricos en el plano que no contienen un pentágono convexo. Problema 5 ¿Es planar el grafo que resulta de eliminar una arista de $K_5$? ¿Es planar el complemento de un ciclo de longitud 6? ¿Es planar el grafo que resulta de agregar a un hexágono sus tres diagonales principales? Problema 6 Supón que queremos unir tres casas a tres pozos. ¿Es posible hacerlo sin que los caminos se crucen? Problema 7 Muestra que un grafo planar bipartito, con n vértices, puede tener a lo más 2 n -4 aristas. Problema 8 Muestra que...

Fecha de entrega: 22 de abril Problema 1 Muestra que un árbol es un grafo bipartito. ¿Es cierto que todo grafo bipartito es un árbol? Problema 2 ¿Existe un grafo bipartito con vértices de grados 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6 y 6? Un grafo bipartito tiene 16 vértices de grado 5 y cierto número de vértices de grado 8. Si sabemos que los vértices de grado 8 se encuentran en el mismo lado, ¿cuántos vértices de grado 8 puede tener? Problema 3 Sea  G un grafo bipartito con el mismo número de nodos de cada lado tal que cada  k vértices del lado izquierdo tienen  k +1 vecinos del lado derecho. Muestra que cada arista de  G se puede extender a un apareamiento perfecto. Problema 4 Muestra que un grafo bipartito en el cual todos sus vértices tienen el mismo grado tiene un apareamiento perfecto. Da un ejemplo de un grafo con todos sus vértices del mismo grado que no tiene un apareamiento perfecto. Problema 5 Muestra que, si  G tiene un apareamiento perfecto, entonces todo apaream...

Fecha de entrega: 15 de abril Problema 1 Encuentra el número de árboles no etiquetados con 6 vértices. Una  estrella doble es un árbol con exactamente dos vértices con grado mayor que 1. ¿Cuántas estrellas dobles hay con  n vértices? Problema 2 Considera una matriz de $2\times n-1$, cuyo primer renglón está formado por los números del 1 al $n-1$, y el segundo por números arbitrarios entre 0 y $n-1$. Construye el grafo con vértices $0,1,2\ldots,n-1$ y aristas descritas por las columnas de esta matriz. Muestra que este grafo no siempre es un árbol. Demuestra que, si este grafo es conexo, entonces es un árbol. Muestra que cada componente conexa tiene a lo más un ciclo. Problema 3 Construye los árboles descritos por las siguientes codificaciones de Prüfer . 433 10520 44444 16976762 426641 Problema 4 Construye los árboles descritos por las siguientes codificaciones planares 11110000 11100100 11010100 11010010 11001010 Pr...

Fecha de entrega: 8 de abril Problema 1 Demuestra que al conectar dos vértices  u y  v en un grafo G  con una nueva arista, se crea un nuevo ciclo si y solo si  u y  v se encuentran en la misma componente conexa de  G . Problema 2 Muestra que, en un árbol, cualquiera dos vértices pueden ser conectados por una única trayectoria. De manera inversa, muestra que si en un grafo cualquiera dos vértices pueden ser conectados por una única trayectoria, entonces el grafo es un árbol. Problema 3 Completa la demostración del teorema visto en clase:  Todo árbol con al menos dos vértices tiene al menos dos vértices de grado 1. Problema 4 Sea  G un grafo conexo y  e una arista de  G . Muestra que  e no es una arista de corte si y solo si e es parte de un ciclo en  G . Problema 5 Muestra que un árbol con un vértice de grado  d  tiene al menos  d hojas.

Fecha de entrega: 18 de marzo Problema 1 Formula y demuestra el siguiente enunciado como un teorema de grafos: " En un grupo de personas existen dos de ellas que conocen al mismo número de personas cada uno ". Problema 2 Por medio de un ejemplo, muestra que si eliminamos una arista de un grafo conexo  G , el resultado puede ser un grafo disconexo. Muestra que, si la arista eliminada pertenece a un ciclo subgrafo de  G , entonces el resultado es conexo. Problema 3 Sea  G un grafo y  u, v dos vértices de  G . Muestra que, si existe una caminata de u a v , entonces existe una trayectoria de u a v . Utiliza el inciso anterior para dar una demostración distinta a la vista en clase para el siguiente enunciado: si  p , q , y r son vértices de G tales que existe una trayectoria de p a q y una trayectoria de q a r , entonces existe una trayectoria de p a r . Problema 4 Muestra que si el grafo  G  con n vértices tiene más de $\binom{n-1}{2}$ aristas, entonces e...

Fecha de entrega: 11 de junio Problema 1 Sean $2n$ puntos en un círculo. Muestra que el número de formas en que podemos unir estos puntos en pares, de tal manera que los $n$ segmentos no se crucen, es igual al número de Catalan $C_n$. Problema 2 Muestra que el número de arreglos de $2\times n$ $\begin{pmatrix}x_{11}& x_{12}&\ldots& x_{1n}\\x_{21}& x_{22}&\ldots& x_{2n}\end{pmatrix}$ con los números $1, 2, \ldots, 2n$ de tal forma que cada renglón y cada columna es creciente, es igual a $C_n$. Problema 3 Determina la división en diagonales del polígono convexo que corresponde a las siguientes multiplicaciones. $a_1\times(((a_2\times a_3)\times(a_4\times a_5))\times a_6)$ $((a_1\times a_2)\times (a_3\times (a_4\times a_5)))\times((a_6\times a_7)\times a_8)$ Problema 4 Calcula la tabla de diferencias para la sucesión $x_n = 2n^2-n+3$, y encuentra una fórmula para $\sum_{k=0}^n x_k$. Si la suc...

Fecha de entrega: 4 de marzo Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} no contienen dos enteros consecutivos? Problema 2 Muestra que $F_{3n}$ es par. Muestra que $F_{5n}$ es divisible entre 5. Problema 3 Muestra las siguientes identidades. $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ $F_0^2 + F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n\cdot F_{n+1}$ $\displaystyle \binom{n}{0}F_0 + \binom{n}{1}F_1 + \binom{n}{2}F_2 + \ldots + \binom{n}{n}F_n = F_{2n}$ $\displaystyle \binom{n}{0}F_1 + \binom{n}{1}F_2 + \binom{n}{2}F_3 + \ldots + \binom{n}{n}F_{n+1} = F_{2n+1}$ Problema 4 Los números de Lucas $L_0, L_1, L_2, L_3, \ldots$ satisfacen la ecuación de recurrencia $L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$ con términos iniciales $L_0 = 2, L_1 = 1$. Muestra que $L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$ para $n\ge1$. Encuentra una fórmula explícita para $L_n$. Problema 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de recurrencia. $latex x_n = x_{n...

Fecha de entrega: 26 de febrero Problema 1 Muestra que, si los eventos A y B son excluyentes, entonces $P(A) + P(B) = P(A\cup B).$ Muestra que, para cualquiera dos eventos A y B , $P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B).$ Problema 2 Al tirar un dado, considera los eventos P = "par",  I = "impar",  T = "múltiplo de 3" y  G = "más grande que 3". ¿Cuáles parejas de estos eventos son independientes? ¿Cuáles son excluyentes? Problema 3 Muestra que $\emptyset$ es independiente de cualquier otro evento. ¿Existe otro evento así? Problema 4 Considera un experimento  S que se repite  n veces ($n\ge 2$), y sea $s\in S$. Si  A es el evento que  s sale primero, y  B es el evento que  s sale al final, muestra que  A y  B son independientes. Problema 5 Sea  S = {1, 2, ..., 100} y seleccionamos un subconjunto  X al azar uniformemente, de tal forma que cualquier subconjunto tiene la misma probabilidad de ser selec...

Fecha de entrega: 19 de febrero Problema 1 Demuestra la identidad $\displaystyle\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} +\cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0$ utilizando el principio de inclusión-exclusión. Problema 2 ¿De cuántas formas puedes acodomodar 8 torres (iguales) en un tablero de ajedrez de tal forma que no se ataquen entre sí? Responde la pregunta anterior, pero si tenemos 4 torres blancas y 4 torres negras. Repite la pregunta, pero en el caso en que las 8 torres son distintas. Problema 3 Las palabras ERRATA y BARBAS tienen el mismo número de anagramas, porque tienen el mismo número de letras con las mismas repeticiones (6 = 2 + 2+ 1 + 1). En ese caso decimos que las palabras son "esencialmente iguales". Por ejemplo, SANTAS es esencialmente igual a ellas, también, pero HERRAJE no lo es (también tiene dos pares de letras repetidas, pero tiene 7 en total). Si dos palabras no son esencialmente iguales, entonces son "esencialmente distinta...

Fecha de entrega: 12 de febrero Problema 1 n niños y  n niñas salen a bailar en parejas, ¿de cuántas formas pueden hacerlo? (Solo parejas niño-niña.) Problema 2 Demuestra con un argumento combinatórico que $\displaystyle  \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}.$ Problema 3 Demuestra combinatóricamente que $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$ Problema 4 Ana tiene 10 pelotas. Primero, las separa en dos grupos (no necesariamente del mismo tamaño). En seguida, toma uno de los dos grupos, que tenga al menos dos pelotas, y lo separa en dos grupos. Así continúa separando cada grupo en dos, hasta que termina con puros grupos de una pelota. ¿Cuántos pasos le toma hacer esto? Muestra que el número de formas distintas en que puede hacer este proceso es $\displaystyle \binom{10}{2}\cdot\binom{9}{2}\cdots\binom{2}{2}.$ Problema 5 De un grupo de estudiantes, a 23 de ellas les gusta jugar futbol, a 18 les gusta jugar ajedrez, a 21 andar en bici...

We proved last Thursday the following theorem. Theorem.  (Bernstein) Let $T(x)$ be a trigonometric polynomial of degree N. Then $\displaystyle \max_x|T'(x)| \le 2\pi N\max_x |T(x)|$. Bernstein's inequality provides an estimate for the derivative of $T(x)$ in terms of its degree and its maximum. The inequality is sharp, since the polynomial $T(x) = \sin 2\pi Nx$ satisfies the equality. We also proved the following corollary. Corollary.   Let $T(x)$ be a trigonometric polynomial of degree N. Then $\displaystyle \max_x |T(x)| \le 2\pi N\int_0^1 |T(x)|dx$. We observed that Fejér's kernel $\displaystyle F_{N+1}(x) \sum_{n=-N}^N \Big(1 - \frac{|n|}{N+1}\Big)e^{2\pi inx} = \frac{1}{N+1}\Big(\frac{\sin \pi(N+1)x}{\sin \pi x}\Big)^2$ proves the inequality in the Corollary is essentially sharp, as its maximum is $N+1$ and its integral is 1. In fact, $F_{N+1}$ also proves that Bernstein's inequality is essentially sharp. Exerc...

Fecha de entrega: 5 de febrero Problema 1 10 personas desean jugar entre ellas ajedrez, en 5 tableros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si no importa el tablero que usan ni el color de las piezas de cada quien? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si sí importa el tablero, pero no el color? ¿De cuántas formas si sí importa el color, pero no el tablero? ¿De cuántas formas si importan ambas? Problema 2 Considera la codificación binaria de subconjuntos de un conjunto vista en clase. ¿A qué números corresponden los subconjuntos de un solo elemento? ¿A qué número corresponde el comjunto completo? ¿A qué subconjuntos corresponden los números pares? Problema 3 Dibuja un árbol de decisión que ilustre el conteo de sucesión de longitud 2 formadas con los símbolos a , b , y c . Problema 4 En una tienda deportiva se venden playeras de 5 colores distintos, shorts de 4 colores diferentes, y calcetas de 3 colores diferentes. ¿Cuántos uniformes diferentes se pueden comprar? Pro...