Tarea 9, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 14 de octubre

Problema 1

Considera las sumas parciales de la serie de Fourier,

$latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\cos\frac{(2k-1)\pi x}{2}.$

1. Grafica los valores de $latex S_n(x)$ para $latex 1\le n\le 200$, con $latex x=1/2, 2/3, 9/10, 99/100.$


2. Dado $latex \e=0{.}1$, calcula el N necesario para garantizar que $latex |S_n(x) - S_m(x)|<\e$ para cada uno de los x del inciso anterior.


3. Repite el inciso anterior con $latex \e=0{.}001$.

Problema 2

Demuestra que la serie

$latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen (k/100)}{\log k}$

converge.

Problema 3

Evalúa la serie

$latex 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \ldots$

en dos formas distintas: primero, como serie geométrica de cociente $latex -1/3$; segundo, agrupando cada término positivo con el siguiente negativo.

Problema 4

Evalúa la serie

$latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} - \dfrac{1}{256} + \ldots$

Problema 5

Considera la serie

$latex \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots$

y las dos siguientes formas de evaluarla:

$latex \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Big) + \Big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\Big)\ldots+ \Big(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\Big)\ldots = \dfrac{1}{2},$

y

$latex \Big(1 - \dfrac{5}{6}\Big) + \Big(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}\Big)+\ldots+ \Big(\dfrac{n+3}{2n+2}-\dfrac{n+4}{2n+4}\Big)\ldots = 1.$

Explica cuál es el problema.