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Tarea 9, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 14 de octubre


Problema 1


Considera las sumas parciales de la serie de Fourier,

$latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\cos\frac{(2k-1)\pi x}{2}.$




  1. Grafica los valores de $latex S_n(x)$ para $latex 1\le n\le 200$, con $latex x=1/2, 2/3, 9/10, 99/100.$

  2. Dado $latex \e=0{.}1$, calcula el N necesario para garantizar que $latex |S_n(x) - S_m(x)|<\e$ para cada uno de los x del inciso anterior.

  3. Repite el inciso anterior con $latex \e=0{.}001$.


Problema 2


Demuestra que la serie

$latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen (k/100)}{\log k}$


converge.

Problema 3


Evalúa la serie

$latex 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \ldots$


en dos formas distintas: primero, como serie geométrica de cociente $latex -1/3$; segundo, agrupando cada término positivo con el siguiente negativo.

Problema 4


Evalúa la serie

$latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} - \dfrac{1}{256} + \ldots$



Problema 5


Considera la serie

$latex \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots$


y las dos siguientes formas de evaluarla:

$latex \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Big) + \Big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\Big)\ldots+ \Big(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\Big)\ldots = \dfrac{1}{2},$


y

$latex \Big(1 - \dfrac{5}{6}\Big) + \Big(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}\Big)+\ldots+ \Big(\dfrac{n+3}{2n+2}-\dfrac{n+4}{2n+4}\Big)\ldots = 1.$


Explica cuál es el problema.

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