Tarea 4, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 2 de septiembre

Problema 1

Sea $f(x) = \sen x$. Encuentra el error $e(f,x,\pi/2)$ como función de x. Encuentra un $\delta>0$ que sea suficiente para que $|e(f,x,\pi/2)|<\e$ para $\e = 0{.}1, 0{.}001, 10^{-100}$. ¿Cómo debemos seleccionar $\delta$ para $\e$ arbitrario dado?

Problema 2

Muestra que si f es continua en $x_0$ y $\lim_{x\to x_0} f'(x)$ existe, entonces f es diferenciable en $x_0$ y $\lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$.

Problema 3

Sean $f, g$ diferenciables en $x_0$. Encuentra

1. $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{xf(x_0) - x_0f(x)}{x-x_0}$


2. $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x-x_0}$

Problema 4

Sea f diferenciable en $p$ y $x_n, y_n$ sucesiones que convergen a $p$, tales que $x_n\not= p, y_n\not=p, x_n\not=y_n$, para todo n. Da ejemplos para los cuales el cociente

$\dfrac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$

1. converge a $f'(p)$


2. no converge, o converge a un límite distinto de $f'(p)$.

Problema 5

Sea f diferenciable en p y $x_n, y_n$ dos sucesiones que convergen a p tales que $x_n < p < y_n$ para todo n. Muestra que

$\displaystyle \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$

converge a $f'(p)$.

Problema 6

Sean $P_n(x)$ los polinomios vistos en clase tales que, si $f(x) = e^{-1/x_2}$, entonces

$f^{(n)}(x) = P_n(1/x) e^{-1/x^2}$,

para $x\not=0$. Calcula $P_0(x), P_1(x), P_2(x), P_3(x), P_4(x)$, y muestra que

$P_{n+1}(x) = 2x^3P_n(x) - x^2 P'(x)$.

Concluye que $P_n(x)$ es un polinomio de grado $3n$.