Tarea 4, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 2 de septiembre

Problema 1

Sea $latex f(x) = \sen x$. Encuentra el error $latex e(f,x,\pi/2)$ como función de x. Encuentra un $latex \delta>0$ que sea suficiente para que $latex |e(f,x,\pi/2)|<\e$ para $latex \e = 0{.}1, 0{.}001, 10^{-100}$. ¿Cómo debemos seleccionar $latex \delta$ para $latex \e$ arbitrario dado?

Problema 2

Muestra que si f es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x)$ existe, entonces f es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$.

Problema 3

Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex x_0$. Encuentra

1. $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{xf(x_0) - x_0f(x)}{x-x_0}$


2. $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x-x_0}$

Problema 4

Sea f diferenciable en $latex p$ y $latex x_n, y_n$ sucesiones que convergen a $latex p$, tales que $latex x_n\not= p, y_n\not=p, x_n\not=y_n$, para todo n. Da ejemplos para los cuales el cociente

$latex \dfrac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$

1. converge a $latex f'(p)$


2. no converge, o converge a un límite distinto de $latex f'(p)$.

Problema 5

Sea f diferenciable en p y $latex x_n, y_n$ dos sucesiones que convergen a p tales que $latex x_n < p < y_n$ para todo n. Muestra que

$latex \displaystyle \frac{f(x_n) - f(y_n)}{x_n - y_n}$

converge a $latex f'(p)$.

Problema 6

Sean $latex P_n(x)$ los polinomios vistos en clase tales que, si $latex f(x) = e^{-1/x_2}$, entonces

$latex f^{(n)}(x) = P_n(1/x) e^{-1/x^2}$,

para $latex x\not=0$. Calcula $latex P_0(x), P_1(x), P_2(x), P_3(x), P_4(x)$, y muestra que

$latex P_{n+1}(x) = 2x^3P_n(x) - x^2 P'(x)$.

Concluye que $latex P_n(x)$ es un polinomio de grado $latex 3n$.