Tarea 7, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 23 de septiembre

Problema 1

Explica cuál es el problema con la siguiente aplicación de la regla de L'Hôpital.

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sen(1/x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{2x\sen(1/x)-\cos(1/x)}{1}$

no existe.

Problema 2

1. Utiliza la regla de L'Hôpital para mostrar que $latex \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0.$


2. Demuestra por inducción que $latex \displaystyle\frac{e^{-1/x^2}}{x^n} = 0$ para todo $latex n\in\N$.

Problema 3

Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular los siguientes límites, si existen.

1. $latex \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\arctan\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x-1}$


2. $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\Big(\Big(1 + \frac{1}{x}\Big)^x - e\Big)$


3. $latex \displaystyle \lim_{x\to5} (6-x)^{1/(x-5)}$


4. $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x}$


5. $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x^2}$

Problema 4

1. Muestra que $latex \dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{x}{2}$ es una función par.


2. Utiliza el hecho que
   $latex \displaystyle B_{2k}\approx (-1)^{k+1}\frac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}} \approx (-1)^{k+1}\frac{2(2k)^{2k}\sqrt{4\pi k} e^{-2k}}{(2\pi)^{2k}}$
   para encontrar el término con el menor valor absoluto de la serie
   $latex \displaystyle \frac{B_2}{1\cdot2\cdot17} + \frac{B_4}{3\cdot4\cdot17^3} + \ldots + \frac{B_{2k}}{(2k-1)(2k)17^{2k-1}}+\ldots$.


3. Utiliza el resultado anterior para encontrar la mejor aproximación a $latex E(17)$, el error en la fórmula de Stirling para $latex n=17$.


4. Muestra que la serie anterior no converge.

Problema 5

Para cada una de las siguientes series, explora sus primeras miles de sumas parciales y explica tus observaciones. Luego indica si la serie converge o diverge, justificando tu respuesta.

1. $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k}{\log k}$


2. $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{(\log k)^2}{k}$


3. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \sen\frac{1}{k}$


4. $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{(\log k)^{\log k}}{k^2}$