Tarea 10, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 21 de octubre

Problema 1

Considera las sumas parciales

$latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^2}{(1 + kx^2)(1+(k-1)x^2)}$.

1. Calcula $latex S_n(x)$ para $latex x=1/10, 1/100, 1/1000$.


2. Averigua cuántos términos debes sumar para que $latex S_n(x)$ se encuentre a menos de $latex \e=0{.}01$ de $latex S(x)=1$.


3. Repite los incisos anteriores para las sumas (con $latex S(x)=0$)

$latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x+x^3(k-k^2)}{(1+k^2x^2)(1+(k-1)^2x^2)}$.

Problema 2

Considera la serie de seno

$latex \displaystyle \sen x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$

1. Muestra que la serie converge uniformemente en el intervalo $latex [-\pi,\pi]$.


2. Indica cuántos términos de la serie hay que sumar para estar a $latex \e=1/2, 1/10, 1/100$ del límite en este intervalo.


3. Repite los incisos anteriores para el intervalo $latex [-2\pi, 2\pi]$.


4. ¿La serie converge uniformemente para todo $latex \R$?

Problema 3

Da un ejemplo de una serie de funciones diferenciales $latex \sum f_k$ en un intervalo tal que $latex \sum f_k'$ converge uniformemente en el intervalo, pero $latex \sum f_k(x)$ no converge para ningún x.

Problema 4

Muestra que

$latex \displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 + x^2}$

es diferenciable para todo x.

Problema 5

Considera la serie

$latex \displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^\infty f_(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^2\sen x}{(1 + kx^2)(1+(k-1)x^2)}$,

con sumas parciales $latex s_n(x)$.

1. Grafica $latex s_n(x)$ en el intervalo $latex [-\pi,\pi]$ para diversos valores de n. Describe tus observaciones.


2. Demuestra que $latex s_n(x) = \dfrac{nx^2\sen x}{1+nx^2}$.


3. Muestra que la serie converge uniformemente en $latex \R$.


4. Muestra que $latex \sum f_k'(0) = 0$ y compara el resultado con $latex f'(0)$.


5. Explica que, aunque la serie converge uniformemente, cómo el inciso anterior no contradice el resultado visto en clase.