Tarea 15, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 25 de noviembre

Considera las funciones en $latex [0,1]$ dadas por

$latex f(x) = \begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\not\in\Q\end{cases}\qquad$

$latex \quad g(x) = \begin{cases}1/q&x=p/q\in\Q, \text{mcd}(p,q)=1\\0&x\not\in\Q.\end{cases}$

Muestra que f no es Riemann-integrable, y que g sí lo es.

Da un ejemplo de dos funciones $latex f:[a,b]\to[-M,M]$ y $latex g:[-M,M]\to\R$ Riemann-integrables tales que $latex g\circ f$ no lo es.

Encuentra los siguientes límites. (Sugerencia: utiliza sumas de Riemann de funciones apropiadas.)

$latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n} + e^{2/n} + \ldots+e^{n/n})$

$latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{k+1}}(1^k + 2^k + \ldots + n^k)$

$latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\frac{1}{n^3+1^3} + \frac{1}{n^3+2^3} + \ldots + \frac{1}{n^3+n^3}\Big)$

$latex \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}$

Sea $latex f:[0,1]\to\R$ Riemann-integrable y $latex |q|<1$. Muestra que

$latex \displaystyle\lim_{q\to 1^-}(1-q)\sum_{n=1}^\infty q^nf(q^n) = \int_0^1 f.$