Tarea 8, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 7 de octubre

Problema 1

Considera una serie $latex \sum a_n$ de términos distintos a cero.

1. Sean $latex \alpha>0, N$ tales que, si $latex n\ge N$, entonces $latex |a_{n+1}/a_n|\le \alpha.$ Muestra que, para todo $latex \e>0$, existe M tal que, si $latex n\ge M$, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}<\alpha + \e$.


2. Muestra que no necesariamente tenemos que $latex \sqrt[n]{|a_n|}\le \alpha$ para $latex n\ge N$.


3. Muestra que, si el criterio del conciente nos dice que una serie converge absolutamente, entonces el criterio de la raíz también nos dirá lo mismo.


4. Muestra que, si existen $latex \beta>0, N$ tales que $latex |a_{n+1}/a_n|\ge\beta$ para $latex n\ge N$, entonces para cada $latex \e>0$ existe M tal que $latex \sqrt[n]{|a_n|}>\beta-\e$ para $latex n\ge M$.


5. Muestra que, si $latex |a_{n+1}/a_n|$ converge, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}$ converge y

$latex \lim\sqrt[n]{|a_n|} = \lim\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|.$

Problema 2

Sea $latex \log_2 x = \log\log x$ y, para $latex k\ge 3$, $latex \log_k x = \log(\log_{k-1}x)$. Describe y justifica la convergencia o divergencia de la serie

$latex \displaystyle \sum_{n=N_k} \frac{1}{n\log n\log_2 n\cdots (\log_k n)^p}$

para $latex p\ge 0$, donde $latex N_k$ es tal que $latex \log_k N_k \ge 0$.

Problema 3

Muestra que

$latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^n}{(n^2)!}$

converge. Además, encuentra una función $latex f(n)$ que crezca lo más rápido posible y tal que

$latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^n}{(n^2)!}f(n)$

también converge.

Problema 4

Encuentra el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_n x^n$ si

1. existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n n^\alpha| \to L$.


2. existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n \alpha^n| \to L$.


3. existe $latex L>0$ tal que $latex |a_n n!|\to L$.

Problema 5

Para las siguientes series de potencias, grafica las aproximaciones polinomiales con 3, 6 y 9 términos de la serie, y describe tus observaciones; calcula para cada una su radio de convergencia. Verifica que cada una es hipergeométrica, y utiliza el criterio de Gauss para determinar la convergencia en los extremos.

1. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2} x^n$


2. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}{n!}x^n$


3. $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots(2n-1)^2}{n!}x^n$

Problema 6

Explica por qué la serie

$latex x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^6}{6} + \ldots$

no es hipergeométrica.