Tarea 6, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 16 de septiembre

Problema 1

1. Encuentra una función acotada $latex f:[0,1]\to\R$ que no toma su valor supremo o ínfimo.


2. Encuentra una función diferenciable en 1 tal que $latex f'(1)=0$ y que no tenga un extremo en 1.

Problema 2

Averigua si los siguientes conjuntos son acotados por debajo o por arriba, y encuentra el ínfimo y el supremo si es el caso:

1. el intervalo (0,3)


2. $latex \{1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots\}$


3. $latex \{1, 1+1/2, 1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8,\ldots\}$


4. $latex \{2/1, (2\cdot2)/(1\cdot3),(2\cdot 2\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3), (2\cdot 2\cdot 4\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5),\ldots\}$


5. el conjunto de números entre 0 y 1 con expansión decimal consistente de solo los dígitos 0 y 1


6. $latex \{\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor:n\in\N\}$


7. $latex \{m/n + 4n/m: m,n\in\Z_+\}$


8. $latex \{ mn/(4m^2+n^2): m,n\in\Z_+\}$

Problema 3

Muestra que el enunciado "todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene un supremo" implica el principio de intervalos encajados.

Problema 4

Muestra que la fórmula de aproximación

$latex \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2$

tiene un error no mayor de $latex |x|^3/2$ si $latex |x|<1/2$.

Problema 5

Para $latex x>-1, x\not=0$, muestra que

1. si $latex \alpha<0$ o $latex \alpha>1$, $latex (1+x)^\alpha > 1 + \alpha x$;


2. si $latex 0 < \alpha < 1$, $latex (1 + x)^\alpha < 1 + \alpha x$

Problema 6

Sean $latex f,g$ funciones con segundas derivadas continuas en $latex [0,1]$ tales que $latex g'(x)\not=0$ para todo $latex x\in(0,1)$ y $latex f'(0)g''(0) - f''(0)g'(0)\not=0$. Para cada $latex x\in(0,1)$, sea $latex \theta(x)\in(0,x)$ tal que

$latex \dfrac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \dfrac{f'(\theta(x))}{g'(\theta(x))}$.

($latex \theta(x)$ existe por el teorema general del valor medio.) Muestra que

$latex \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\theta(x)}{x} = \frac{1}{2}.$