Tarea 5,Introducción al análisis

Fecha de entrega: 9 de septiembre

Problema 1

Para la función $latex f(x) = x^2\sen(1/x^2)$ vista en clase, los puntos $latex x_0$ y números positivos $latex \e$ dados, encuentra $latex \delta$ tal que si $latex 0<|x-x_0|<\delta$ entonces

$latex \displaystyle \Big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\Big| < \e.$

1. $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}1$


2. $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}01$


3. $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}01$


4. $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}001$

Problema 2

Encuentra otra función que sea diferenciable en $latex [0,1]$, pero cuya derivada no es acotada.

Problema 3

Encuentra una función que no sea continua en $latex [0,1]$, pero que sí satisfaga la propiedad del valor intermedio en ese intervalo.

Problema 4

Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua. Muestra que existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$.

Problema 5

Muestra que la ecuación $latex (1-x)\cos x = \sen x$ tiene al menos una solución en $latex (0,1)$.

Problema 6

Sea f continua en $latex [0,2]$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,2]$ tales que $latex a-b=1$ y

$latex f(a) - f(b) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2}.$

Problema 7

Considera la función f que toma los dígitos de la expansión decimal de cada $latex x\in(0,1)$ e inserta 0 alternadamente entre ellos:

$latex f(0{.}a_1 a_2 a_3 a_4 a_5\ldots) = 0{.}0a_10a_20a_30a_40a_50\ldots.$

1. ¿Existe $latex x\in(0,1)$ con expansión decimal finita tal que f sea continua en x?


2. ¿Existe $latex x\in(0,1)$ con expansión decimal infinita tal que la f no sea continua en x?