Tarea 2, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 19 de agosto

Problema 1

Encuentra el límite de las siguientes series. Para cada una, encuentra n tal que sus sumas parciales, a partir de la n-ésima, están a distancia .001 del límite.

1. $latex 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{27}{64} + \ldots$


2. $latex \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216} + \ldots$


3. $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \ldots$

Problema 2

Demuestra la convergencia de la serie

$latex 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1-x)^2}$

para $latex |x|<1$, utilizando las ideas de Cauchy. Repite el problema anterior con las siguientes series.

1. $latex 1 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{9} - \dfrac{4}{27} + \ldots$


2. $latex 2 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{27} + \dfrac{6}{81} - \dfrac{5}{243} + \ldots$

Problema 3

Demuestra la identidad de Machin

$latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$.

Problema 4

1. ¿Cuántos terminos necesitas sumar de la serie obtenida a partir de la identidad de Machin para obtener una aproximación de $latex \pi$ con los primeros 100 dígitos correctos?


2. Utiliza la respuesta anterior para calcular los primeros 100 dígitos de $latex \pi$.

Problema 5

Explica por qué la serie geométrica es una caso especial del teorema del binomio de Newton.

Problema 6

1. Evalúa la suma parcial de al menos 100 términos de la serie de $latex \sqrt{1+x}$ para x = -1, -.9, .9, .99, 1, 1.01, 1.1, y 2. ¿Estas sumas se acercan al valor de $latex \sqrt{1+x}$? Describe tus observaciones.


2. Compara la gráfica de la función $latex \sqrt{1+x}$ en el intervalo [-1,2] y compáralo con las gráficas de los polinomios de orden 2, 5, 8, y 10 obtenidos de la sumas parciales de la serie de $latex \sqrt{1+x}$. Describe tus observaciones. ¿Para cuáles valores de x estos polinomios aproximan $latex \sqrt{1+x}$?

Problema 7

Calcula una serie infinita que converja a

$latex \displaystyle \int_0^1 (1-x^3)^{1/3} dx.$