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Tarea 11, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 28 de octubre


Problema 1


Indica si las siguientes series son convergentes en cada punto o uniformemente convergentes en el conjunto A dado.

  1. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty n^2x^2e^{-n^2|x|}, \qquad A=\R$

  2. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{\sqrt k}(x^k + x^{-k}),\qquad A=[1/2,2]$

  3. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\log(1+kx)}{kx^k}, \qquad A=[2,\infty)$


Problema 2


Sea $latex \sum a_kx^k$ una serie de potencias con radio de convergencia R. Muestra que, si la serie de derivadas $latex \sum ka_kx^{k-1}$ converge en $latex x=R$, entonces la serie converge en $latex x=R$.

Problema 3


Termina la demostración del teorema visto en clase: Si $latex \sum f_k$ converge uniformemente en $latex (a,b)$ y las funciones $latex f_k$ son continuas en $latex [a,b]$, entonces la serie converge uniformemente en $latex [a,b]$.

Problema 4


Muestra que

$latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k}$


es discontinua en $latex x=0$ mostrando que

$latex \displaystyle \limsup_{x\to0^+} \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k} = \infty$.


Concluye que la serie $latex \sum \sen kx/\log k$ no converge uniformemente en $latex (0,\pi/2).$

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