Tarea 11, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 28 de octubre

Problema 1

Indica si las siguientes series son convergentes en cada punto o uniformemente convergentes en el conjunto A dado.

1. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty n^2x^2e^{-n^2|x|}, \qquad A=\R$


2. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{\sqrt k}(x^k + x^{-k}),\qquad A=[1/2,2]$


3. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\log(1+kx)}{kx^k}, \qquad A=[2,\infty)$

Problema 2

Sea $latex \sum a_kx^k$ una serie de potencias con radio de convergencia R. Muestra que, si la serie de derivadas $latex \sum ka_kx^{k-1}$ converge en $latex x=R$, entonces la serie converge en $latex x=R$.

Problema 3

Termina la demostración del teorema visto en clase: Si $latex \sum f_k$ converge uniformemente en $latex (a,b)$ y las funciones $latex f_k$ son continuas en $latex [a,b]$, entonces la serie converge uniformemente en $latex [a,b]$.

Problema 4

Muestra que

$latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k}$

es discontinua en $latex x=0$ mostrando que

$latex \displaystyle \limsup_{x\to0^+} \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k} = \infty$.

Concluye que la serie $latex \sum \sen kx/\log k$ no converge uniformemente en $latex (0,\pi/2).$