Tarea 14, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 18 de noviembre

Problema 1

Utiliza la definición de la integral de Cauchy para mostrar que

$latex \displaystyle \int_a^b x dx = \frac{b^2-a^2}{2}$.

Problema 2

Considera la función $latex f(x) = \sen(1/x), \quad f(0)=0$.

1. Calcula la suma $latex \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{f((i-1)/n)}{n}$ para diversos valores de n. ¿Qué observas? ¿Parece que converge?


2. Determina si $latex f(x)$ es Cauchy-integrable en $latex [0,1]$.

Problema 3

Sean $latex f, g$ Cauchy-integrables. Muestra que $latex f + g$ es también Cauchy-integrable.

Encuentra un ejemplo de funciones Cauchy-integrables tales que su producto no es Cauchy-integrable.

Problema 4

Muestra que, si f es Riemann-integrable, entonces es Cauchy-integrable. Muestra, con un ejemplo, que la inversa es falsa.