Tarea 13, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 11 de noviembre

Problema 1

Muestra que

$latex \displaystyle \int_0^{\pi/(2n+1)} \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy < \pi$.

Problema 2

Utiliza el problema anterior para mostrar que, si $latex 0\le a < b\le \pi/2$, entonces

$latex \displaystyle \bigg| \int_a^b \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy \bigg| < \pi$.

Problema 3

Calcula los coeficientes de Fourier de la función

$latex \displaystyle F(x) = \begin{cases} 2x+1 & -\pi < x < 0\\(x-2)/3 & 0 < x < \pi.\end{cases}$

Evalúa algunas sumas parciales para $latex x=0$ y $latex x=\pi$. Describe tus observaciones, e indica si parece que convergen al valor esperado.

Problema 4

Calcula los coeficientes de Fourier de la función periódica $latex F(x)$, con periodo $latex 2\pi$, y que es igual a $latex x^2-\pi^2$ para $latex x\in(\pi, 3\pi)$. ¿A qué converge la serie en $latex x=-\pi$? ¿En $latex x=0$? Evalúa algunas sumas parciales en estos puntos.