Tarea 1, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 12 de agosto

Problema 1

Grafica las superficies obtenidas por las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos de la serie

$latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( e^{-\frac{\pi y}{2}} \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} e^{-\frac{3\pi y}{2}}\cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}e^{-\frac{5\pi y}{2}}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}e^{-\frac{7\pi y}{2}}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$

para $latex x\in[-1,1], y\in[0,2]$.

Problema 2

Considera la suma de Fourier vista en clase

$latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$

1. ¿A qué valor se acerca esta serie cuando x se acerca a 1 por la izquierda?


2. ¿A qué valor se acerca esta serie cuando x se acerca a 1 por la derecha?


3. ¿Cuál es el valor de esta serie si x=1?

Problema 3

Considera la suma que obtenemos si diferenciamos término a término la suma anterior:

$latex \displaystyle -2\Big( \sen\frac{\pi x}{2} - \sen\frac{3\pi x}{2} + \sen\frac{5\pi x}{2} - \sen\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$.

1. Grafica las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos. ¿Te parece que estas gráficas se acerquen a la función 0?


2. Evalúa las sumas parciales con hasta 20 términos para los siguientes valores de x: 0, 0.2, 0.3, 0.5, 1. ¿Te parece que estas sumas se acercan a 0?


3. ¿Qué ocurre en cada uno de esos valores de x? ¿Qué puedes demostrar?

Problema 4

1. Calcula las primeras $latex 2n$ sumas parciales de la serie alternante $latex 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \ldots$ para diversos valores de n. Verifica ques estas sumas se acercan al valor de $latex \log 2$.


2. Encuentra el valor, numéricamente, al que se acercan las sumas parciales de la serie alternante cuando sumas dos términos positivos por cada negativo, es decir,  $latex 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{4} + \ldots$.


3. Encuentra el valor, numéricamente, al que se acercan las sumas parciales de la serie alternante cuando sumas un término positivo por cada dos negativos, es decir,  $latex 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{5} + \ldots$.


4. Conjetura el valor exacto de las sumas anteriores, y demuestra tu conjetura.

Problema 5

Repite el problema anterior para la serie alternante

$latex 1 - \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{4^2} + \ldots$.