Problema 2
5. El conjunto tiene como mínimo a 0 y como supremo el límite de la sucesión 0.1111..., o sea, 1/9.
6. Claramente el mínimo es 0, porque si n es cuadrado entonces $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor = 0$. El supremo es 1. Para mostrarlo, consideremos $latex n = N^2-1$. Entonces
$latex \sqrt n = N\Big(1 - \dfrac{1}{N^2}\Big)^{1/2} > N\Big(1 - \dfrac{1}{2N^2}\Big) = N - \dfrac{1}{2N}$,
y por lo tanto $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor > N - \dfrac{1}{2N} - (N-1) = 1 - \dfrac{1}{2N}.$ Como N es arbitrario, este número es tan cercano a 1 como se desee.
7. Como $latex (m-2n)^2\ge0$, tenemos que $m^2 + 4n^2 \ge 4mn$, y por lo tanto
$latex \dfrac{m}{n} + \dfrac{4n}{m} = \dfrac{m^2 + 4n^2}{mn} \ge 4$,
por lo que 4 es una cota mínima. Como tal número se alcanza con $latex m=2, n=1$, 4 es el ínfimo. Si $latex m=1$, entonces
$latex \dfrac{m^2+4n^2}{mn} = \dfrac{1 + 4n^2}{n} > 4n$.
Concluimos entonces que el conjunto no está acotado por arriba.
8. Este es el conjunto de recíprocos del conjunto anterior, por lo que 0 es su ínfimo y 1/4 su supremo.
Problema 3
Sean $latex a_1\le a_2\le a_3\le \ldots$ y $latex b_1\ge b_2\ge b_3\ge\ldots$ sucesiones tal que $latex a_n \le b_n$ para todo n. Si s es el supremo de $latex \{a_n:n\in\Z_+\}$, entonces $latex s\in\bigcup_n[a_n,b_n]$. Claramente $latex a_n\le s$ para todo n y, si algún $latex b_N < s$, entonces $latex b_N$ sería una cota superior para las $latex a_n$ menor a s, lo cual es una contradicción.
Problema 4
Si $latex f(x) = (1+x)^{1/2}$, entonces
$latex f'(x) = \dfrac{1}{2}(1+x)^{-1/2}, \quad f''(x) = -\dfrac{1}{4}(1+x)^{-3/2}, \quad f'''(x) = \dfrac{3}{8}(1+x)^{-5/2},$
por lo que, por el teorema del residuo de Lagrange, existe c entre 0 y x tal que
$latex f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + \dfrac{f'''(c)}{3!}x^3 = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{x^3}{16(1+c)^{5/2}}.$
Como $latex c>-1/2$, $latex 16(1+c)^{5/2} > 16(1/2)^{5/2} = 2\sqrt 2 > 2$ y, por lo tanto,
$latex \Big| \dfrac{x^3}{16(1+c)^{5/2}}\Big| < \dfrac{|x|^3}{2}.$
Problema 5
Si $latex f(x) = (1+x)^\alpha$, entonces
$latex f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}\qqy f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2},$
por lo que, por el teorema del residuo del Lagrange,
$latex f(x) = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(1+c)^{\alpha-2}}{2}x^2$
para algún c entre 0 y x. Si $latex \alpha <0\text{ o } \alpha>1$, $latex \alpha(\alpha-1)>0$ y obtenemos 1. Si $latex 0<\alpha<1$, entonces $latex \alpha(\alpha-1)<0$ y obtenemos 2.
Problema 6
Observamos primero que $latex g'(0) \not=0$. Si lo fuera, entonces $latex f'(0)g''(0)\not=0$, lo que implicaría que $latex f'(x)/g'(x)$ no tiene límite en 0 y $latex f''(x)/g''(x)$ sí (sería $latex f''(0)/g''(0)$), lo que contradice la regla de L'Hopital.
Así que $latex g'(0)\not=0$, por lo que para cada x existe $latex \tau=\tau(x)$ entre 0 y $latex \theta(x)$ tal que
$latex \dfrac{f'(\theta(x))}{g'(\theta(x))} = \dfrac{f'(0)}{g'(0)} + \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{f'}{g'}\Big)\Big|_{x=\tau}\cdot\theta(x).$
Como $latex \displaystyle \frac{d}{dx}\Big(\frac{f'}{g'}\Big)\Big|_{x=\tau} = \frac{f''(\tau)g'(\tau) - f'(\tau)g''(\tau)}{g'(\tau)^2}$, tenemos
$latex \displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} = \frac{f'(0)}{g'(0)} + \frac{f''(\tau)g'(\tau) - f'(\tau)g''(\tau)}{g'(\tau)^2}\theta(x)$,
que podemos reescribir como, además de dividir entre x,
$latex \displaystyle \frac{\theta(x)}{x}\frac{f'(\tau)g''(\tau) - f''(\tau)g'(\tau)}{g'(\tau)^2} = \frac{f'(0)(g(x)-g(0)) - (f(x) - f(0))g'(0)}{xg'(0)(g(x) - g(0))}.$
Claramente $latex \dfrac{f'(\tau)g''(\tau) - f''(\tau)g'(\tau)}{g'(\tau)^2} \to \dfrac{f'(0)g''(0) - f''(0)g'(0)}{g'(0)^2}$ cuando $latex x\to0$. Para calcular el límite de la derecha, utilizamos la regla de L'Hopital. Al diferenciar una vez tanto numerador como denominador obtenemos la fracción
$latex \dfrac{f'(0)g'(x) - f'(x)g'(0)}{g'(0)(g(x) - g(0)) + xg'(0)g'(x)},$
de la cual numerador y denominador tienen límite 0 en x. Diferenciando ambos una vez más
$latex \dfrac{f'(0)g''(x) - f''(x)g'(0)}{2g'(0)g'(x) + xg'(0)g''(x)},$
la cual tiene límite
$latex \dfrac{f'(0)g''(0) - f''(0)g'(0)}{2g'(0)^2}$
cuando $latex x\to0$. Como $latex f'(0)g''(0)-f''(0)g'(0)\not=0$, obtenemos
$latex \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\theta(x)}{x} = \frac{1}{2}.$
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