Tarea 12, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 4 de noviembre

Problema 1

Hemos visto en clase que, si $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ convergen, entonces la serie $latex \sum(a_k+b_k)$ converge. Sin embargo, es posible que $latex \sum(a_k+b_k)$ converja mientras que $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ no lo hacen.

Discute si es posible que una serie trigonométrica

$latex \displaystyle a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sen kx)$

converja, y que las series de cosenos y senos

$latex \displaystyle a_0 +  \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx, \qquad \sum_{k=1}^\infty b_k \sen kx$

no lo hagan.

Problema 2

Sean $latex f,g$ funciones uniformemente continuas. Indica si $latex f+g$ y $latex fg$ son uniformemente continuas. En tal caso, demuéstralo, o, si no, da un contraejemplo.

Problema 3

Sea $latex f:(a,b)\to\R$ uniformemente continua. Demuestra que tiene límites en a y en b.

Problema 4

Encuentra un valor de $latex \zeta$ para el cual

$latex \displaystyle \int_0^{2\pi} t \sen t dt = 2\pi \int_\zeta^{2\pi} \sen t dt$.