Tarea 3, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 26 de agosto

Problema 1

Identifica el problema del siguiente argumento:

Dada una función f, tenemos que

$latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = \int_0^2 f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx.$

Si hacemos el cambio de variable $latex x=2y$ en la primer integral de la derecha, tenemos

$latex \displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 2\int_0^1 f(2y) dy.$

Sea f una función tal que $latex f(2x) = \frac{1}{2}f(x)$ para todo x. Entonces

$latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = 2\int_0^1 \frac{1}{2}f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx = 0.$

La función $latex f(x) = 1/x$ satisface que $latex f(2x) = f(x)/2$. Así $latex \int_1^2 dx/x = 0$ y, por lo tanto, $latex \log 2 = 0.$

Problema 2

Encuentra una función sencilla $latex \omega$, en términos de $latex \log$, tal que

$latex \displaystyle \lim\Big( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} - \omega(n)\Big) = 0.$

Problema 3

Muestra la identidad de Bernoulli vista en clase integrando repetidamente por partes:

$latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt = xf(x) - \int_0^x t f'(t) = \ldots$.

Problema 4

Muestra la identidad de Bernoulli, esta vez, a partir de la serie de Taylor de $latex F(x) = \int_0^x f(t)dt$ y de sus derivadas:

$latex F(x) = F(0) + F'(0)x + \dfrac{F''(0)}{2}x^2 + \dfrac{F'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{F^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{F^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \ldots$

$latex F'(x) = F'(0) + F''(0)x + \dfrac{F'''(0)}{2}x^2 + \dfrac{F^{(4)}(0)}{3!}x^3 + \dfrac{F^{(5)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{F^{(6)}(0)}{5!}x^5 + \ldots$

$latex F''(x) = F''(0) + F'''(0)x + \dfrac{F^{(4)}(0)}{2}x^2 + \dfrac{F^{(5)}(0)}{3!}x^3 + \dfrac{F^{(6)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{F^{(7)}(0)}{5!}x^5 + \ldots$

$latex F'''(x) = F'''(0) + F^{(4)}(0)x + \dfrac{F^{(5)}(0)}{2}x^2 + \dfrac{F^{(6)}(0)}{3!}x^3 + \dfrac{F^{(7)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{F^{(8)}(0)}{5!}x^5 + \ldots$

Despeja para $latex F'(0), F''(0), F'''(0), \ldots$ para obtener

$latex F(x) - F(0) = F'(x)x - \dfrac{F''(x)}{2}x^2 + \dfrac{F'''(x)}{3!}x^3 - \dfrac{F^{(4)}(x)}{4!}x^4 + \ldots$.

Problema 5

Reescribe la serie

$latex 1 - x^2 + x^5 - x^7 + x^{10} - x^{12} + \ldots$

como una función racional en x. Si hacemos $latex x=1$, ¿qué valor nos da para $latex 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$?

Problema 6

1. Encuentra una serie de potencias que implique que $latex 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \dfrac{4}{7}$.


2. En general, encuentra una serie de potencias que implique que

$latex 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \dfrac{m}{n}$.