Tarea 9, Varias variables

Fecha de entrega: 27 de marzo

Problema 1

1. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex f > 0$ en $latex (a,b)$ y $latex f(x) = 0$ para $latex x\notin(a,b)$.


2. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex 0\le f\le 1$, $latex f(x)=0$ para $latex x\le a$ y $latex f(x)=1$ para $latex x\ge b$.


3. Sean $latex R>r>0$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $latex f=1$ en $latex B_r(0)$ y $latex \supp f = B_R(0)$.

Problema 2

Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe un conjunto compacto $latex D\subset\R^n$ tal que $latex C\subset D^0$ y $latex D \cap E = \emptyset$.

Problema 3

Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $latex f = 1$ en $latex C$ y $latex f = 0$ en $latex E$.

Problema 4

Muestra que, si $latex p<1$, la función $latex f_p:(0,1)\to\R$ dada por

$latex \displaystyle f_p(x) = \frac{1}{x^p}$

es integrable, y calcula $latex \displaystyle \int_{(0,1)}f_p$.

Problema 5

Sea $latex f:(a,b)\to\R$ continua tal que $latex f(x)\ge 0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f$ es integrable si y solo si

$latex \displaystyle \lim_{\e\to0} \int_{[a+\e,b-\e]}f$

existe.