Tarea 13, Varias variables

Fecha de entrega: 8 de mayo

Problema 1

Muestra que el anillo $latex \mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2 \le 2\}$ es un 2-cubo. Calcula $latex \partial\mathbb A$.

Problema 2

Muestra que un conjunto abierto simplemente conexo es conexo.

Problema 3

Sea $latex \w$ la 1-forma en $latex \R^2\setminus\{0\}$ dada por

$latex \displaystyle \w = - \frac{y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$.

Muestra que, si $latex n\in\Z$ y $latex s_{R,n} (t) = (R \cos 2\pi nt, R \sen2\pi nt)$, entonces

$latex \displaystyle \int_{s_{R,n}} \w = 2\pi n.$

Problema 4

Sea $latex \w = yzdx + xzdy + xydz$. Calcula $latex \displaystyle\int_c \w$ para las siguientes curvas.

1. $latex c(t) = (\cos 2\pi t, \sen 2\pi t, \sen \pi t)$;


2. $latex c(t) = (t, t^2, t^3)$;


3. $latex c(t) = (t, 2t^2 - t, t)$.

Problema 5

Sea $latex \w = x dy\wedge dz + y dz\wedge dx + zdx\wedge dy$ y $latex S$ la superficie dada por la gráfica de la función $latex f(x,y) = x^2 + y^2$ en $latex [-1,1]\times[-1,1]$. Calcula

$latex \displaystyle \int_S \w$.