Tarea 12, Varias variables

Fecha de entrega: 1 de mayo

Problema 1

Sea $latex f:\R^n\to\R$ diferenciable tal que $latex \grad f(p)\not=0$. Muestra que $latex \grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $latex f$ en el punto $latex p$. Es decir, si

$latex \hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$,

entonces $latex Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v): |v|=1\}$. (Sugerencia: Nota que $latex (\grad f(p))_p\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $latex v_p\in\R^n_p$.)

Problema 2

Sea $latex \w = f dx$ una 1-forma en $latex [0,1]$ tal que $latex f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $latex \lambda\in\R$ tal que $latex \w - \lambda dx = dg$, donde $latex g$ es una función que satisface $latex g(0) = g(1)$.

Problema 3

Sea $latex \w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial tal que $latex \w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $latex \alpha$. Muestra que, si $latex \w$ es cerrada, entonces $latex \w = df$ donde

$latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z)$.

Problema 4

Sea $latex f:U\to\R^n$ diferenciable con inversa $latex f^{-1}:f(U)\to\R^n$ diferenciable. Muestra que ,si toda forma cerrada en $latex U$ es exacta, entonces toda forma cerrada en $latex f(U)$ es exacta. (Sugerencia: Considera $latex f^*$.)

Problema 5

Sean $latex F,G:\R\times\R^n\to\R$ funciones diferenciables, donde consideramos la primer variable como parámetro. Muestra que

$latex \dfrac{d}{dt}(dF_t\wedge dG_t) = \Big( \dfrac{d}{dt}dF_t \Big) \wedge dG_t + dF_t \wedge \Big( \dfrac{d}{dt}dG_t \Big)$.