Tarea 14, Varias variables

Fecha de entrega: 15 de mayo

Problema 1

Demuestra que un subespacio de dimensión $latex k$ de $latex \R^n$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex k$.

Problema 2

Sea $latex g:\R^2\to\R$ dada por $latex g(x,y) = x^2 - y^2$. Explica por qué el conjunto $latex g^{-1}(\{0\})$ no es una variedad diferenciable en dimensión 1 en $latex \R^2$.

Problema 3

Sea $latex A\subset\R^n$ un conjunto abierto y $latex g:A\to\R$ continuamente diferenciable tal que $latex g'(x)\not=0$ para $latex x\in A$. Si $latex M = g^{-1}(\{0\})\not=\emptyset$, muestra que el espacio tangente en $latex x\in M$ es igual a

$latex \{v_x\in\R^n_x: v \cdot \grad g(x) = 0 \}$.

Es decir, $latex M_x$ es el hiperplano en $latex \R^n_x$ ortogonal a $latex \grad g(x)$, el gradiente de $latex g$ en $latex x$.

Problema 4

1. Sea $latex f:\R^n\to\R^m$ y considera su gráfica $latex G = \{(x,y)\in\R^{n+m}: y = f(x)\}$. Muestra que $latex G$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ si, y solo si, $latex f$ es de clase $latex C^1$.


2. Muestra que si $latex G\subset\R^{n+1}$ es la gráfica de una función continuamente diferenciable $latex f:\R^n\to\R$, entonces el espacio tangente en $latex x\in G$ está dado por el hiperplano en $latex \R^{n+1}_x$ normal al vector $latex (-\grad f(x), 1)$.

Problema 5

Muestra que el cilindro $latex C\in\R^3$ dado por

$latex C = \{ (x,y,z)\in\R^3: x^2 + y^2 = 1, 0 \le z \le 1 \}$

es una variedad diferenciable de dimensión $latex 2$ con frontera.