Tarea 15, Varias variables

Fecha de entrega: 22 de mayo

Problema 1

Describe el espacio tangente del cilindro

$C = \{(x,y,z)\in\R^3: x^2 + y^2 = 1, 0\le z\le 1\}$

en un punto $p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $\theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$.

Problema 2

Verifica que las siguientes funciones en $C$ son campos vectoriales del cilindro.

1. $\displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} y \\ -x \\ 0 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$


2. $\displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$


3. $\displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} yz \\ -xz \\ z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$


4. $\displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} xy - yz \\ xz - x^2 \\ yz - z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$

Problema 3

Considera la 1-forma en el cilindro

$\omega(p) = z_0\cos^2\theta dx - \cos\theta\sen\theta dy + z_0\sen2\theta dz,$

para $p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $\theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$. Utiliza un sistema de coordenadas apropiado para calcular $d\omega$.

Problema 4

Sea $M^k\subset N$ una variedad diferenciable para algún abierto $N\subset\R^n$. Sea $\eta$ una $l$-forma diferencial en $N$, y definimos la $l$-forma diferencial $\omega$ en $M$ como $\omega = \eta|_M$. Muestra que $d\omega = (d\eta)|_M$. (Sugerencia: Si $f:U\to V$ es un sistema de coordenadas de clase $C^2$ tal que $V\subset N$, muestra primero que $f^*\w = f^*\eta$.)

Problema 5

Muestra que la selección

$\mu_{(x,y,z)} = \left[\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}_{(x,y,z)},\begin{pmatrix}y \\ -x \\ 0\end{pmatrix}_{(x,y,z)}\right]$

define una orientación en $C$. Calcula la orientación inducida en $\partial C$ por $\mu$.