Tarea 10, Varias variables

Fecha de entrega: 17 de abril

Problema 1

Muestra que la integral impropia

$Latex \displaystyle \int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2} dx = \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{[-N,N]^n} e^{-|x|^2}dx = \pi^{n/2}.$

Problema 2

1. Si $Latex x>0$, muestra que la función $LAtex t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ es integrable en $Latex \mathbb R_+ = (0,\infty).$


2. Para $Latex x>0$, la función gama $Latex \Gamma(x)$ está definida como la integral
   $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \int_{\mathbb R_+}t^{x-1}e^{-t} dt$.
   Muestra que $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_\varepsilon ^{1/\varepsilon} t^{x-1} e^{-t}.$


3. Muestra que, si $Latex n\in \mathbb Z_+$, entonces $Latex \displaystyle \Gamma(n+1) = n\Gamma(n).$


4. Concluye que, para $Latex n\in\mathbb N,\;\;n!=\Gamma(n+1).$

Problema 3

Muestra que el determinante del jacobiano de las coordenadas esféricas está dado por

$Latex \displaystyle r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}$,

para cada $Latex r>0$, $latex 0<\phi_i<\pi$, $latex i=1,\hdots,n-2$, $latex 0<\theta<2\pi$.

Problema 4

Utiliza el problema 1 para mostrar que

$Latex \displaystyle \int_R \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin \phi_{n-2} d\theta d\phi_1\hdots d\phi_{n-2} = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)},$

donde $Latex R=[0,2\pi] \times [0,\pi]^{n-2}$. (Sugerencia: Calcula la integral $Latex \int_{\mathbb R^n}e^{-|x|^2}dx$ en coordenadas esféricas).

Utiliza este resultado para calcular el volumen de la bola unitaria $Latex \mathbb B^n$ en $Latex \mathbb R^n$.

Problema 5

1. Muestra que los puntos fijos de una función $Latex f:\mathbb B^n\rightarrow \mathbb B^n$ pueden ser no interiores.


2. Como consecuencia del inciso anterior, muestra que el teorema de Brouwer es falso para la bola abierta $Latex B_1^0 (0)$.