Tarea 3, Varias variables

Fecha de entrega: 13 de febrero

Problema 1

Muestra que, si $f:A\to\R^m$ tiene límites $L$ y $M$ en $x_0$, entonces $L = M$.

Problema 2

Demuestra que la función $f:A\to\R^m$ es continua en $x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $f^i:A\to\R$ es continua en $x$.

Problema 3

Considera la función en $\R^2$ definida por

$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$

Muestra que, aunque cada una de las funciones

$x\to f(x,y_0)$    y    $y\to f(x_0,y)$

son continuas en $\R$ para cualquier $x_0,y_0\in\R$, la función $f$ no es continua en $(0,0)$.

Problema 4

Da un ejemplo de un conjunto $A\subset\R^n$ no acotado tal que toda función continua en $A$ es uniformemente continua.

Problema 5

Calcula la oscilación en el punto $(0,0)$ de la función del problema 3.