Tarea 8, Varias variables

Fecha de entrega: 20 de marzo

Problema 1

Sea $latex f:R\to\R$ y $latex \mathcal P$ una partición de $latex R$. Muestra que $latex f$ es Riemann-integrable si y solo si $latex f|_S$ es Riemann-integrable para cada $latex S\in\mathcal P$, y en tal caso

$latex \displaystyle \int_R f = \sum_{S\in\mathcal P} \int_S f|_S.$

Problema 2

1. Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0.


2. Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de contenido 0.


3. Si $latex C$ es de contenido 0, muestra que $latex \fr C$ es de contenido 0.


4. Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya frontera no sea de medida 0.

Problema 3

Sea $latex f:R\to\R$ Riemann-integrable, $latex f\ge 0$ y tal que $latex \int f = 0$. Muestra que $latex \{x\in R:f(x)\not=0\}$ es de medida 0.

Problema 4

1. Muestra que, si $latex C$ es de contenido 0, entonces es Jordan-medible.


2. Muestra que, si $latex C$ es Jordan-medible y de medida 0, entonces $latex \int_C 1 = 0$.

Problema 5

Sea $latex f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continua tal que $latex D_2f$ existe y es continua.

1. Define $latex F:[c,d]\to\R$ como $latex \displaystyle F(y) = \int_a^b f(x,y) dx.$ Muestra que $latex \displaystyle F'(y) = \int_a^b D_2f(x,y) dx.$


2. Define $latex G:[a,b]\times[c,d]\to\R$ como $latex \displaystyle G(x,y) = \int_a^x f(t,y) dt.$ Encuentra $latex D_1G$ y $latex D_2G$.


3. Sea $latex h:[c,d]\to[a,b]$ diferenciable y define $latex H:[c,d]\to\R$ como $latex \displaystyle H(y) = \int_a^{h(y)} f(x,y) dx.$ Encuentra $latex H'(y)$.